2014年江苏省徐州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共有8小题．每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）(2014年江苏徐州)2﹣1等于（）
A．2 B． ﹣2 C． D． ﹣
2．（3分）(2014年江苏徐州)如图使用五个相同的立方体搭成的几何体，其主视图是（）
A． B． C． D．
3．（3分）(2014年江苏徐州)抛掷一枚均匀的硬币，前2次都正面朝上，第3次正面朝上的概率（）
A．大于 B． 等于 C． 小于 D． 不能确定
4．（3分）(2014年江苏徐州)下列运算中错误的是（）
A．+= B． ×= C． ÷=2 D． =35．（3分）(2014年江苏徐州)将函数y=﹣3x的图象沿y轴向上平移2个单位长度后，所得图象对应的函数关系式为（）
A．y=﹣3x+2 B． y=﹣3x﹣2 C． y=﹣3（x+2） D． y=﹣3（x﹣2）6．（3分）(2014年江苏徐州)顺次连接正六边形的三个不相邻的顶点．得到如图的图形，该图形（）
A． 既是轴对称图形也是中心对称图形
B． 是轴对称图形但并不是中心对称图形
C． 是中心对称图形但并不是轴对称图形
D． 既不是轴对称图形也不是中心对称图形7．（3分）(2014年江苏徐州)若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（）
A．矩形 B． 等腰梯形
C．对角线相等的四边形 D． 对角线互相垂直的四边形
8．（3分）(2014年江苏徐州)点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1，若BC=2，则AC等于（）
A．3 B． 2 C． 3或5 D． 2或6考点： 两点间的距离；数轴．
分析： 要求学生分情况讨论A，B，C三点的位置关系，即点C在线段AB内，点C在线段AB外．
解答： 解：此题画图时会出现两种情况，即点C在线段AB内，点C在线段AB外，所以要分两种情况计算．
点A、B表示的数分别为﹣3、1，
AB=4．
第一种情况：在AB外，
AC=4+2=6；
第二种情况：在AB内，
AC=4﹣2=2．
故选：D．
点评： 在未画图类问题中，正确画图很重要．本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
二、填空题（本大题共有10小题．每小题3分，共30分．）
9．（3分）(2014年江苏徐州)函数y=中，自变量x的取值范围为x≠1．10．（3分）(2014年江苏徐州)我国“钓鱼岛”周围海域面积约170000km2，该数用科学记数法可表示为1.7×105．11．（3分）(2014年江苏徐州)函数y=2x与y=x+1的图象交点坐标为（1，2）．12．（3分）(2014年江苏徐州)若ab=2，a﹣b=﹣1，则代数式a2b﹣ab2的值等于﹣2．13．（3分）(2014年江苏徐州)半径为4cm，圆心角为60°的扇形的面积为πcm2．14．（3分）(2014年江苏徐州)如图是某足球队全年比赛情况统计图：
根据图中信息，该队全年胜了22场．15．（3分）(2014年江苏徐州)在平面直角坐标系中，将点A（4，2）绕原点逆时针方向旋转90°后，其对应点A′的坐标为（﹣2，4）．16．（3分）(2014年江苏徐州)如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC，∠A=50°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE=15°．
17．（3分）(2014年江苏徐州)如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆与小圆的半径分别为3cm和1cm，若圆P与这两个圆都相切，则圆P的半径为1或2cm．
考点： 圆与圆的位置关系．
专题： 分类讨论．
分析： 如解答图所示，符合条件的圆P有两种情形，需要分类讨论．
解答： 解：由题意，圆P与这两个圆都相切
若圆P与两圆均外切，如图①所示，此时圆P的半径=（3﹣1）=1cm；
若圆P与两圆均内切，如图②所示，此时圆P的半径=（3+1）=2cm．
综上所述，圆P的半径为1cm或2cm．
故答案为：1或2．
点评： 本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是确定如何与两圆都相切，难度中等．
18．（3分）(2014年江苏徐州)如图①，在正方形ABCD中，点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动；同时，点Q沿边AB、BC从点A开始向点C以2cm/s的速度移动．当点P移动到点A时，P、Q同时停止移动．设点P出发xs时，△PAQ的面积为ycm2，y与x的函数图象如图②，则线段EF所在的直线对应的函数关系式为y=﹣3x+18．
考点： 动点问题的函数图象．
分析： 根据从图②可以看出当Q点到B点时的面积为9，求出正方形的边长，再利用三角形的面积公式得出EF所在的直线对应的函数关系式．
解答： 解：∵点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动；点Q沿边AB、BC从点A开始向点C以2cm/s的速度移动．
∴当P点到AD的中点时，Q到B点，
从图②可以看出当Q点到B点时的面积为9，
∴9=×（AD）?AB，
∵AD=AB，
∴AD=6，即正方形的边长为6，
当Q点在BC上时，AP=6﹣x，△APQ的高为AB，
∴y=（6﹣x）×6，即y=﹣3x+18．
故答案为：y=﹣3x+18．
三、解答题（本大题共有10小题，共86分．）
19．（10分）(2014年江苏徐州)（1）计算：（﹣1）2+sin30°﹣；
（2）计算：（a+）÷（1+）．解答： 解：（1）原式=1+﹣2=﹣；
（2）原式=÷=?=a﹣1．
20．（10分）(2014年江苏徐州)（1）解方程：x2+4x﹣1=0；
（2）解不等式组：．解答： 解：（1）原式可化为（x2+4x+4﹣4）﹣1=0，即（x+2）2=5，
两边开方得，x+2=±，
解得x1=﹣2+，x2=﹣2﹣；（2），
由①得，x≥0，由②得，x＜2，
故此不等式组的解集为：0≤x＜2．
21．（7分）(2014年江苏徐州)已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AC上，且AE=CF．
求证：四边形BEDF是平行四边形．
22．（7分）(2014年江苏徐州)甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下：
甲：8，8，7，8，9
乙：5，9，7，10，9
（1）填写下表：
平均数 众数 中位数 方差
甲 8 8 8 0.4
乙 8 9 9 3.2
（2）教练根据这5次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？
（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差变小．（填“变大”、“变小”或“不变”）．解答： 解：（1）甲的众数为8，乙的平均数=（5+9+7+10+9）=8，乙的中位数为9；
（2）因为他们的平均数相等，而甲的方差小，发挥比较稳定，所以选择甲参加射击比赛；
（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差变小．
故答案为：8，8，9；变小．
点评： 本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差通常用s2来表示，计算公式是：s2=[（x1﹣xˉ）2+（x2﹣xˉ）2+…+（xn﹣xˉ）2]；方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了算术平均数、中位数和众数．
23．（8分）(2014年江苏徐州)某学习小组由3名男生和1名女生组成，在一次合作学习后，开始进行成果展示．
（1）如果随机抽取1名同学单独展示，那么女生展示的概率为；
（2）如果随机抽取2名同学共同展示，求同为男生的概率．则P==．
24．（8分）(2014年江苏徐州)几个小伙伴打算去音乐厅观看演出，他们准备用360元购买门票．下面是两个小伙伴的对话：
根据对话的内容，请你求出小伙伴们的人数．解答： 解：设票价为x元，
由题意得，=+2，
解得：x=60，
则小伙伴的人数为：=8．
答：小伙伴们的人数为8人．
25．（8分）(2014年江苏徐州)如图，轮船从点A处出发，先航行至位于点A的南偏西15°且点A相距100km的点B处，再航行至位于点A的南偏东75°且与点B相距200km的点C处．
（1）求点C与点A的距离（精确到1km）；
（2）确定点C相对于点A的方向．
（参考数据：≈1.414，≈1.732）
考点： 解直角三角形的应用-方向角问题．
分析： （1）作辅助线，构造直角三角形，解直角三角形即可；
（2）利用勾股定理的逆定理，判定△ABC为直角三角形；然后根据方向角的定义，即可确定点C相对于点A的方向．
解答： 解：（1）如右图，过点A作AD⊥BC于点D．
由图得，∠ABC=75°﹣10°=60°．
在Rt△ABD中，∵∠ABC=60°，AB=100，
∴BD=50，AD=50．
∴CD=BC﹣BD=200﹣50=150．
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
AC==100≈173（km）．
答：点C与点A的距离约为173km．（2）在△ABC中，∵AB2+AC2=1002+（100）2=40000，
BC2=2002=40000，
∴AB2+AC2=BC2，
∴∠BAC=90°，
∴∠CAF=∠BAC﹣∠BAF=90°﹣15°=75°．
答：点C位于点A的南偏东75°方向．
26．（8分）(2014年江苏徐州)某种上屏每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax2+bx﹣75．其图象如图．
（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
解答： 解；（1）y=ax2+bx﹣75图象过点（5，0）、（7，16），
∴，
解得，
y=﹣x2+20x﹣75的顶点坐标是（10，25）
当x=10时，y最大=25，
答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元；（2）∵函数y=﹣x2+20x﹣75图象的对称轴为直线x=10，
可知点（7，16）关于对称轴的对称点是（13，16），
又∵函数y=﹣x2+20x﹣75图象开口向下，
∴当7≤x≤13时，y≥16．
答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元．
27．（10分）(2014年江苏徐州)如图，将透明三角形纸片PAB的直角顶点P落在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数y=图象的两支上，且PB⊥x于点C，PA⊥y于点D，AB分别与x轴，y轴相交于点E、F．已知B（1，3）．
（1）k=3；
（2）试说明AE=BF；
（3）当四边形ABCD的面积为时，求点P的坐标．
考点： 反比例函数综合题．
专题： 综合题．
分析： （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征易得k=3；
（2）设A点坐标为（a，），易得D点坐标为（0，），P点坐标为（1，），C点坐标为（1，0），根据图形与坐标的关系得到PB=3﹣，PC=﹣，PA=1﹣a，PD=1，则可计算出==，加上∠CPD=∠BPA，根据相似的判定得到△PCD∽△PBA，则∠PCD=∠PBA，于是判断CD∥BA，根据平行四边形的判定方法易得四边形BCDE、ADCF都是平行四边形，所以BE=CD，AF=CD，则BE=AF，于是有AE=BF；
（3）利用四边形ABCD的面积=S△PAB﹣S△PCD，和三角形面积公式得到?（3﹣）?（1﹣a）﹣?1?（﹣）=，整理得2a2+3a=0，然后解方程求出a的值，再写出P点坐标．
解答： 解：（1）把B（1，3）代入y=得k=1×3=3；
故答案为3；（2）反比例函数解析式为y=，
设A点坐标为（a，），
∵PB⊥x于点C，PA⊥y于点D，
∴D点坐标为（0，），P点坐标为（1，），C点坐标为（1，0），
∴PB=3﹣，PC=﹣，PA=1﹣a，PD=1，
∴==，=，
∴=，
而∠CPD=∠BPA，
∴△PCD∽△PBA，
∴∠PCD=∠PBA，
∴CD∥BA，
而BC∥DE，AD∥FC，
∴四边形BCDE、ADCF都是平行四边形，
∴BE=CD，AF=CD，
∴BE=AF，
∴AF+EF=BE+EF，
即AE=BF；（3）∵四边形ABCD的面积=S△PAB﹣S△PCD，
∴?（3﹣）?（1﹣a）﹣?1?（﹣）=，
整理得2a2+3a=0，解得a1=0（舍去），a2=﹣，
∴P点坐标为（1，﹣2）．
点评： 本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、图形与坐标和平行四边形的判定与性质；会利用三角形相似的知识证明角相等，从而证明直线平行．
28．（10分）(2014年江苏徐州)如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG．
（1）试说明四边形EFCG是矩形；
（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，
①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；
②求点G移动路线的长．
考点： 圆的综合题；垂线段最短；直角三角形斜边上的中线；矩形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质．
专题： 压轴题；存在型．
分析： （1）只要证到三个内角等于90°即可．
（2）易证点D在⊙O上，根据圆周角定理可得∠FCE=∠FDE，从而证到△CFE∽△DAB，根据相似三角形的性质可得到S矩形ABCD=2S△CFE=．然后只需求出CF的范围就可求出S矩形ABCD的范围．根据圆周角定理和矩形的性质可证到∠GDC=∠FDE=定值，从而得到点G的移动的路线是线段，只需找到点G的起点与终点，求出该线段的长度即可．
解答： 解：（1）证明：如图1，
∵CE为⊙O的直径，
∴∠CFE=∠CGE=90°．
∵EG⊥EF，
∴∠FEG=90°．
∴∠CFE=∠CGE=∠FEG=90°．
∴四边形EFCG是矩形．（2）①存在．
连接OD，如图2①，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=90°．
∵点O是CE的中点，
∴OD=OC．
∴点D在⊙O上．
∵∠FCE=∠FDE，∠A=∠CFE=90°，
∴△CFE∽△DAB．
∴=（）2．
∵AD=4，AB=3，
∴BD=5，
S△CFE=（）2?S△DAB=××3×4=．
∴S矩形ABCD=2S△CFE=．
∵四边形EFCG是矩形，
∴FC∥EG．
∴∠FCE=∠CEG．
∵∠GDC=∠CEG，∠FCE=∠FDE，
∴∠GDC=∠FDE．
∵∠FDE+∠CDB=90°，
∴∠GDC+∠CDB=90°．
∴∠GDB=90°
Ⅰ．当点E在点A（E′）处时，点F在点B（F′）处，点G在点D（G′处，如图2①所示．
此时，CF=CB=4．
Ⅱ．当点F在点D（F″）处时，直径F″G″⊥BD，
如图2②所示，
此时⊙O与射线BD相切，CF=CD=3．
Ⅲ．当CF⊥BD时，CF最小，此时点F到达F″′，
如图2③所示．
S△BCD=BC?CD=BD?CF″′．
∴4×3=5×CF″′．
∴CF″′=．
∴≤CF≤4．
∵S矩形ABCD=，
∴×（）2≤S矩形ABCD≤×42．
∴≤S矩形ABCD≤12．
∴矩形EFCG的面积最大值为12，最小值为．②∵∠GDC=∠FDE=定值，点G的起点为D，终点为G″，
∴点G的移动路线是线段DG″．
∵∠GDC=∠FDE，∠DCG″=∠A=90°，
∴△DCG″∽△DAB．
∴=．
∴=．
∴DG″=．
∴点G移动路线的长为．
点评： 本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、垂线段定理等知识，考查了动点的移动的路线长，综合性较强．而发现∠CDG=∠ADB及∠FCE=∠ADB是解决本题的关键．
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