如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,1)、B(3,5),以AB为边作如图所示的正方形ABCD,顶点在坐标原点的抛物线恰好经过点D,P为抛物线上的一动点.
(1)直接写出点D的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)求点P到点A的距离与点P到x轴的距离之差;
(4)当点P位于何处时,APB的周长有最小值,
并求出APB的周长的最小值.
(1)D(-4,4)……………………………………………(2分)
???(2)设抛物线的解析式是y=ax2?……………………………………………(3分)
????????过点D(-4,4),a=,y=x2?…………………………………(4分)
(3)设点P(t,t2),作PHx轴于H,则PH=t2……………………(5分)
????另PA==t2+1………………………………………(6分)
????故点P到点A的距离与点P到x轴的距离之差为1.…………………(7分)
(4)即使PB+PA最小,而PA=PH+1,…………………………………(8分)
作BEx轴于E,与抛物线的交点即为点P?…………………………(9分)
此时P(3,)…………………………………………………………(10分)
则PB+PA=PB+PH+1=BE+1=5+1=6
????????APB的周长的最小值=5+6=11.……………………………………(11分)
【解析】(1)利用正方形邻边垂直且相等可得出D点坐标;
(2)由于抛物线的对称轴是y轴,故抛物线的解析式是设为y=ax2,然后把D点坐标代入求得;
(3)利用勾股定理两线段的长度,然后求它们的差;
(4)利用(3)得出的结论得出P点的坐标以及周长。
|
|