Gothedistance
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第二章数列
第二讲解题方法：求数列通项公式与数列求和
（一）求数列的通项公式
1、观察法
一些数列给出前n项便可归纳出通项公式，有的数列观察前几项便可分析出
是等差数列或等比数列，由等差、等比数列的通项公式，直接写出通项公式。
【基础例题】写出下列各数列的一个通项公式：
①2，－6，18，－54，162，－486，…;
②1111111111
223344556?????，，，，，…
；
③15，25，35，45，55，…。
解答与提示：
①这可以分析依等比数列（公比为（－3））的通项公式得到：??132???nna
②观察规律：
…………615151414131312121154321???????nan
归纳得出：
111???nnan
③仔细观察，数列各项间有：21324310aaaaaa???????…——是等差数列：??51010115?????nnan。
2、利用前n项和Sn法
已知数列??na的前n项和nS，求通项公式na，我们一般利用na与nS的关系：11Sa?，??21????nSSannn
【基础例题】已知数列??na的前n项的和13???nnSn求它的通项公式。
解：111111?????Sa，????????23311112331??????????????nnnnnnSSannn
此时a1＝2≠S1，∴an＝
???????2233112nnnn
为所求数列的通项公式。
3、公式法
（1）形如daann???1（d为常数）且已知1a——等差数列
∵daann???1，d为常数，由等差数列的通项公式得??dnaan11???。
【基础例题】已知数列??na中??Nnaaann?????3,211，求??na的通项公式。
解：∵31???nnaa，
∴31???nnaa，则??na是以21?a为首项，3为公差的等差数列。
∴??13312?????nnan为所求的通项公式。
（2）形如1nnaqa??·（q为常数且0?q）且1a已知——等比数列
∵
1n
n
aqa??，∴??na是以a1为首项，q为公比的等比数列。∴11??nnqaa·。
4、构造阶差数列求通项——形如an＋1＝an＋f（n）
该形式中，只要f（1）＋f（2）＋f（3）…＋f（n－1）可以求出，就可以由an＋1＝an＋f（n）以n＝1，
【变式练习】
（1）已知数列??na的前n项的和Sn＝3n2－2n，求它的通项公式。
（2）已知数列??na的前n项的和Sn＝
nn412?
，求它的通项公式。
【基础知识总结】
【方法与技巧总结】
【基础知识总结】
等差数列的通项公式；
等比数列的通项公式；
【方法与技巧总结】
【基础知识总结】
【方法与技巧总结】
注意项数与项之间
的关系，以及符号变
化。
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2，3，…，n－1代入递推公式得到n－1个等式，然后累加求得an＋1－a1＝??
1
n
kfk??
，从而an＝??1
1
n
kfk
?
??
＋a1。
【基础例题】已知an＋1＝an＋n2＋2n－1，a1＝1，试求数列{an}的通项公式。
解：由an＋1＝an＋n2＋2n－1得，an＋1－an=n2＋2n－1
设bn=an＋1－an=n2＋2n－1，则数列{bn}的通项公式为bn＝n2＋2n－1，
设{bn}的前n项和为Tn，则
Tn＝[12＋22＋32＋…＋（n－1）2＋n2]
＋[（2×1－1）＋（2×2－1）＋（2×3－1）＋…＋[2（n－1）－1]＋（2n－1）]
＝????121
61??nnn
＋2n＝??192
612??nnn
∵bn＝an＋1－an＝n2＋2n－1
∴Tn=(an+1－an）+(an－an－1）+…+（a3－a2）＋（a2－a1）=??192
612??nnn
∴an+1－a1＝Tn＝??192
612??nnn
，∴an+1＝??192
612??nnn
+a1
∴an＝????6521
612???nnn
＋1．
补充说明：令bn＝an＋1－an＝n2＋2n－1，则数列{bn}是一个阶差数列，Tn是{bn}的前n项和。
☆☆5、利用待定系数构造等比数列☆☆
解数列的综合题的主要方法是求数列的通项公式，当递推模式在题中已知时，只需求出相关的待定系
数便可，常常使用待定系数法。
利用待定系数法可以求解形如an＋1＝Aan＋Btn＋Cn＋D（其中A、B、C、D为已知的常数且A≠0，nN?）
的递推数列{}na的通项公式的求法。具体解法是将递推关系转化变形为“等比”数列求解。
（1）形如dcaann???1（10cd??，c也为常数），1a已知。
第一步，设??1nnaxcax????，对比系数解得
1dxc??
，从而原式转化为
111nnddacacc????????????
；
第二步，设辅助数列
1???cdabnn
，1nnbcb??则，??
111ndbbac???则是以
为首项，c为公比的等比数列。
∴11nnbbc??；
第三步，得到数列{an}通项公式：
1nndabc???
＝1
11ndacc?????????
。
【基础例题】已知??na中31??a且121???nnaa求此数列的通项公式。
解：两边同加??1211
1211??????nnaa则
设1??nnab∵即12nnbb??，∴??nb是以2111????ab为首项，2为公比的等比数列
????1122122121nnnnnnbab????????????∴∴为所求的通项公式．
（2）形如an＋1＝Aan＋Cn()nN?（A≠1，AC≠0）的数列。
【变式练习】
①已知数列??na中，a1＝5，??Nnaann????231，求??na的通项公式。
②已知数列??na中，a1＝1，??Nnaa
nn????2431
，求??na的通项公式。
【变式练习】
（1）已知an＋1＝an－2n－3n＋2，a1＝1，试求数列{an}的通项公式。
（2）已知Sn＋1－2Sn＋Sn－1＝2n2＋3n－4，a1＝1，试求数列{an}的通项公式。
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3
第一步，设1(1)()nnaxnyAaxny???????，对比系数得到
??2
1
1
Cx
A
Cy
A
???
???
????
?
，从而原式可以转化为：
122(1)()11(1)(1)nnCCCCanAanAAAA???????????
；
第二步，设辅助数列
21(1)nCCanAA??????????
，并求辅助数列；
第三步，得到数列{an}通项公式。
【基础例题】已知数列{}na满足：114,516nnaaan?????（nN?），求数列{}na的通项公式奎屯王新敞新疆
分析：设1(1)5()nnaxnyaxny???????，展开得1544nnaaxnyx?????，∴416,40yx???，∴
4,1xy??，∴14(1)15(41)anan???????。
解：∵114,516nnaaan?????，∴14(1)15(41)nnanan???????，
∴数列{41}nan??是以14114411a????????为首项，q＝5为公比的等比数列
∴1141155nnnan???????
∴1541nn????．
（3）形如an＋1＝Aan＋Btn()nN?（A≠1，A≠t，AB≠0，t≠1）的数列。
第一步，设11()nnnnaxtAaxt?????，对比系数得到Bx
At??
，原式化为：1
1()nnnnBBatAatAtAt?????????
；
第二步，设辅助数列n
nBatAt?????????
，并求辅助数列的通项公式；
第三步，得到数列{an}通项公式。
【基础例题】已知数列{}na满足：11116,432nnnaaa??????()nN?，求数列{}na的通项公式。
分析：设1124(2)nnnnaxax???????，展开得142nnnaax????奎屯王新敞新疆由待定系数法知x＝3，∴
11324(32)nnaa???????。
解：∵11116,432nnnaaa??????，∴11324(32)nnnnaa???????，
∴数列{32}nna??是以113216610a?????为首项，以q＝4为公比的等差数列
∴1213210452nnnna????????
∴215232nnna?????。
【注意】特别地，当A＝t时，递推关系1nnnataBt???(0,0,1)tBt???，()nN?可以变形为：
11(1)()nnnnaBntAaBnt????????，如：
【基础例题】已知数列{}na满足：21180,535nnnaaa??????()nN?，求数列{}na的通项公式。
分析：设11(1)55(5)nnnnaxnaxn????????，展开得2
1555nnnxaa?????
，由待定系数法知x＝15。∴
1115(1)55(155)nnnnanan????????。
解：∵21180,535nnnaaa??????，∴1115(1)55(155)nnnnanan????????，
∴数列{155}nnan??是等比数列，其首项为11151580755a??????、公比为q＝5，
∴1155555nnnnan??????
∴1555(151)5nnnnann??????。
【变式练习】
①已知数列??na中，a1＝1，1132????nnnaa，求??na的通项公式。
②已知数列??na中，a1＝1，nnnaa????3123，求??na的通项公式。
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注意：该类型也可以两边同时除以qn＋1，转化为1
1nnaaABtttt?????
，引入辅助数列{bn}（其中bn＝n
nat
），
显然数列{bn}为dcaann???1形式。
（4）递推关系形如an＋1＝Aan＋Btn＋Cn＋D()nN?（ABCD≠0）的数列。
第一步，设11(1)()nnnnaxtynzAaxtynz??????????，对比系数可以得到,,xyz的值，对原式进行转化。
第二步，设辅助数列，并求辅助数列的通项公式；
第三步，得到数列{an}通项公式。
【基础例题】已知数列{}na满足：111,28375nnnaaan?????????()nN?，求数列{}na的通项公式。
分析：本题的条件是前面几个问题的混合，也比较复杂，很难直接变形为新的等比数列的形式。可根
据前面的类型的结论使用待定系数法。
解：设变形后的形式为11(1)52(5)nnnnaxynzaxynz?????????????，
展开整理得123375nnnaaxyynz????????。
由待定系数法知38,33,77xyyz????????。所以有3,1,1xyz????。
再将3,1,1xyz????代入上面已设的形式，就可以得到最终的变式：
113(1)52(35)nnnnanan???????????。
就可以转化为一个新的等比数列{35}nnan???，其首项为113152a????、公比为q＝－2，
∴1352(2)(2)nnnnan??????????，∴35(2)nnnan????。
（5）形如an＋2＝pan＋1＋qan连续三项的递推关系——构造等比数列转化为an＋1＝pan＋qn
第一步，设211()nnnnaxayaxa??????，所以xyp
xyq???????
（相当于解方程20zpxq???），对原式进行转化。
第二步，设辅助数列??1nnaxa??，并求辅助数列的通项公式；
第三步，根据辅助数列的通项公式进一步求数列{an}通项公式。
【基础例题】已知数列}{na的前n项和1?nS＝4na＋2(n∈N＋)，a1＝1。（1）设nb＝1?na－2na，求证：数
列}{nb为等比数列；（2）设Cn＝2n
na
，求证：}{nC是等差数列；（3）求数列}{na的通项公式。
证明：(1)1?nS＝4na＋2，2?nS＝41?na＋2，相减得2?na＝41?na－4na，
),2(22112nnnnaaaa???????,21nnnaab???又.21nnbb???
,1,2411212?????aaaaS又,32,51212?????aaba
∴}{nb是以3为首项，2为公比的等比数列，∴nb＝3×２1n?
(2)∵,2n
nnaC?11122nnnnaaCC???????1122nnnaa????12nnb??
1
132342
n
n
?
????
；1
1122aC??
∴}{nC是以
21
为首项，
43
为公差的等差数列．
（3）由（2）知得??
41321???nCn
＝
413?n
，即
nna2
＝
413?n
，∴an＝2n·
413?n
。
说明：一个表达式中既含有na又含有nS，一般要利用na＝nS－1?nS（n≥2），消去nS或na．
5、归纳、猜想、证明。
有的数列很难用以上各法，求出通项公式时，常先由递推公式算出前几项，发现规律、归纳、猜想出
通项公式再加以证明。
【变式练习】
（1）已知数列??na中，a1＝1，a2＝4，an＋2＝3an＋1－2an，求??na的通项公式。
（2）已知数列??na中，a1＝1，1?nS＝
43na
－2(n∈N＋)，求??na的通项公式。
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【基础例题】已知数列??na中??
1111nnnaaanNa?????且
，求数列??na的通项公式。
解：由
11???nnnaaa
算出前几项分别为：
413121432???aaa，，
…，从而猜想：
nan1?
。
最后由数学归纳法进行证明——
①111??an时等式成立
②假设nk?时等式成立，即
kak1?
，则当1??kn时，
1
1
11
1
11???????kkka
aa
k
kk
，即1??kn时等式也成立。
综合①②对任意nN?都有
nan1?
成立。
解法二：用设辅助数列方法来求an，具体解法如下——
11nnnaaa???∵
1111
1??
??
?nn
n
naa
aa∴
????111111,11,11nnnnnnbbbbbbnnaa??????????设则∴是以为首项，为公差的等差数列则
nbann11??∴
此处，辅助数列解法比前面用猜测证明的解法简便。
（二）数列求和的方法：
1．等差数列的前n项和公式：
（1）首项（或末项）公差求和法：Sn＝dnnna
2)1(1??
，Sn＝dnnna
n2)1(??
（2）平均值求和法（或称为首项末项法，等差中项法）：Sn＝
2)(1naan?
（3）当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；
当d＝0时（a1≠0），Sn＝na1是关于n的正比例式．
2．等比数列的前n项和公式：
当q＝1时，Sn＝na1（是关于n的正比例式）；
当q≠1时，运用错位相减求和法得到，Sn＝
qqan??1)1(1
或Sn＝
qqaan??11
【基础例题】（分类讨论）求和：
122221()nnnnnnnaababababbnN????????????
解：①当a＝0或b＝0时，nnSb?（或nnSa?）
②当a＝b时，nnanS)1(??；
③当a?b时，
babaSnnn?????11
（注意：作为等比数列共有n＋1项，公比为q＝b
a
）
3．拆项求和
【变式练习】
（1）已知数列??na中a1＝
21
，??
121nnnaanNa????
，求数列??na的通项公式。
（2）已知数列??na中a1＝2，??
11nnnSSnNS????
，求数列??na的通项公式。
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如an＝2n＋3n
【基础例题】（分部求和法）已知等差数列??na的首项为1，前10项的和为145，求.
242naaa????
解：首先由3145
291010110???????ddaS
，则12(1)32322
nnnaandna?????????
22423(222)2nnaaan?????????12(12)3232612nnnn?????????
【基础例题】（分部求和法）求数列1，3＋
31
，32＋
231
，…，3n＋
n31
的各项的和．
解：其和为（1＋3＋…＋3n）＋（
23131?
＋…＋
n31
）＝
2312131nn?????
＝
21
（3n＋1－3－n）
注意：1＋3＋…＋3n共有n＋1项，而
23131?
＋…＋
n31
共有n项。
4．错位相减求和
如an＝（2n－1）2n——非常数的等差数列与等比数列的积的形式。
【基础例题】（错位相减法）设a为常数，求数列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n项和．
解：①若a＝0时，Sn＝0
②若a＝1，则Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝1(1)2nn?
③若a≠1，a≠0时，Sn－aSn＝（a＋a2＋…＋an）－nan＋1，
Sn＝
12[1(1)](1)nnananaa?????
【基础例题】（错位相减法）已知1,0??aa，数列??na是首项为a，公比也为a的等比数列，令
lg()nnnbaanN???，求数列??nb的前n项和nS．
解：,lgnnnnaabnaa???
23
2341
(23)lg(23)lgnn
nn
SaaanaaaSaaanaa
?
???????????……①……②
①－②得：anaaaaSannnlg)()1(12????????，??
nnananaaaS)1(1)1(lg2??????
。
【说明】数列??na为等比数列，数列??nb是等差数列，则数列??nnba的前n项和nS求解，均可用错位相减
法求解。
5．裂项求和
如an＝??
11?nn
＝11
1nn??
——分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式。
【基础例题】（裂项求和）)(,
32114321132112111Nnn??????????????????
解：
)1(2211???????kkkak?
，
])1(1321211[2?????????nnSn1211121113121211[2??????????????????????????????????????nnnnn。
【基础练习】求Sn＝????111
12323412nnn?????????
法一，可以分成两步分拆，
??????????1111111111112122122212nnnnnnnnnnnnnn????????????????????????????????????
令n＝1，2，3，……，n，然后n个式子相加即可.(略)
法二，可以直接分拆为1111
(1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn?????????????
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然后令n＝1，2，3，……，n，所得n个式子相加即可.(略)
【基础例题】（裂项求和）已知数列??na为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和：?
??
n
iiiaa11
1。
解：首先考虑
11
1n
iiiaa???
＝
11
111n
iiidaa??
????????，则
11
1n
iiiaa???
＝
1111
111()
nn
ndaaaa
????
．
【说明】已知数列??na为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，如
11
1n
iiiaa????
也可用裂项求和法
得到
111
111
1nniii
iiii
aaaaddaa??
???
???????。
【拓展提高】（涉及三角函数的裂项求和）化简Sn＝??111
cos0cos1cos1cos2coscos1nn????
解：∵????????????sin1sin1coscos1sinsin1
coscos1coscos1coscos1nnnnnnnnnnnn??????????
＝tg(n＋1)－tgn
∴原式＝??tan1
sin1n?
【拓展提高】（抽象函数中的裂项求和）已知函数f(x)满足f(x)＋f(y)＝
1xyfxy????????
，且x＞0时，f(x)＜0.
求证：
21111511231ffffnn??????????????????????????????
.
解：令x＝y＝0得，f(0)＝0
令y＝－x，得f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0
所以f(x)是奇函数
注意到
????
????
????
2
111
121112
1111213111
1212
nnnn
nnnn
nnnn
?????
????????
??????
即
2
1111111
1211121231
112
nnffffffnnnnnn
nn
???????????????
????????????????????????
???????????????
令n＝1，2，3，……，n，再依次相加得
2111115112231fffffnnn??????????????????????????????????????
∵110,
22fnn??????????
＜0，∴
211111151122231ffffffnnn?????????????????????????????????????????????
6．倒序相加求和
如an＝nnC100
【基础例题】设数列??na是公差为d，且首项为da?0的等差数列，求和：nnnnnnCaCaCaS??????11001
解：因为nnnnnnCaCaCaS??????11001，00111nnnnnnnnCaCaCaS????????0110nnnnnnaCaCaC?????
01101102()()()nnnnnnnnSaaCaaCaaC??????????0100()()()2nnnnnnnaaCCCaa???????
110()2nnnSaa??????
【说明】此类问题还可变换为探索题形：已知数列??na的前n项和nS12)1(???nn，是否存在等差数列
??nb使得nnnnnnCbCbCba?????2211对一切自然数n都成立．
【基础例题】（组合化归法）求和：)12)(1(532321??????????nnnSn?．
解：)1(3)2)(1(2)342)(1(?????????nnnnnnnnan?
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而连续自然数可表示为组合数的形式，于是，数列的求和便转化为组合数的求和问题了。
3221(1)(2)6,(1)2nnnnnCnnC???????，3221126nnnaCC?????
)(6)(12212322323433???????????nnnCCCCCCS??3243212333323444612)(6)(12??????????????nnnnCCCCCCCC??
12(3)(2)(1)6(2)(1)4!3!nnnnnnnnS????????＝????21212??nnn
【说明】可转化为连续自然数乘积的数列求和问题，均可考虑组合化归法
新疆源头学子小屋特级教师王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt@126.omwxckt@126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋新疆
当然本题也可以将通项
(1)(243)nannn????展开为n的多项式，再用分部求和法．
7．递推求和
【基础例题】（递推法）已知数列??na的前n项和nS与na满足：
21,,?nnnSSa(2)n?
成等比数列，且11?a，
求数列??na的前n项和nS．
解：由题意：21(),
2nnnSaS??
1nnnaSS???，∴211111()()()22nnnnnnnnSSSSSSSS?????????
∴??121211211
11?????????nnSSSSnnn
，∴
121??nSn
。
【说明】本题的常规方法是先求通项公式，然后求和，但逆向思维，直接求出数列??na的前n项和nS的
递推公式，是一种最佳解法．
【拓展提高】
【基础例题】数列??na中，2,841??aa且满足nnnaaa????122（Nn?）。
⑴求数列??na的通项公式；
⑵设||||||21nnaaaS?????，求nS；
⑶设nb＝??1
12nna?)(),(21NnbbbTNnnn???????
，是否存在最大的整数m，使得对任意Nn?，均
有?nT
32m
成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。
解：（1）由题意，nnnnaaaa??????112，}{na?为等差数列，设公差为d，
由题意得2382?????dd，nnan210)1(28??????．
（2）若50210???nn则，5,n?时
12||||||nnSaaa????21281029,2nnaaannn??????????
6n?时，12567Saaaaaa????????2555()2940nnSSSSSnn?????????（其中，nS?为数列??na
得前n项和）
故2
29940nnnSnn???????
65??nn
（3）11111
(12)2(1)21nnbnannnn?????????????
?nT1111111111122233411nnnn?????????????????????????????????????
????????????.)1(2??nn
若
32mTn?
对任意Nn?成立，即
161mnn??
对任意Nn?成立，
)(1Nnnn???的最小值是21，,2116??mm?的最大整数值是7，即存在最大整数,7?m使对任意Nn?，
均有
32mTn?
．
Gothedistance
9
说明：本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题，函数f（n）＝1
111nnn???
在
（0，＋∞）上单调增。
【基础例题】已知函数
13)(??xxxf
，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f（an）（n∈N）。
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式;
（Ⅱ）记Sn＝a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1，求Sn并求
nnS??lim
．
解:（Ⅰ）由
131???nnnaaa
取倒数并化简，得
1
113
???nnaa
，
即
1
113
nnaa???
，数列1
na
??????是以11
1?a
为首项3为公差的等差数列．
∴233)1(11??????nn
an
，∴
231??nan
．
（Ⅱ）设bn＝anan＋1，则????1111
323133231nbnnnn?????????????
，
∴
12111111111314477103231nnSbbbnn???????????????
∴
13)1311(31?????nnnSn
，∴
3113limlim???????nnSnnn
．
小结：
1．等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法，复杂的数列转化为等差、等比数列．
2．由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想，数学归纳法是这一思想的理论
基础。
3．错位相减”、“裂项相消”是数列求和最重要的方法．
（三）求数列{an}的最大项、最小项的方法
方法一，作差法：an＋1－an＝……
??
???
??
?
00
0：如an＝－2n2＋29n－3。
方法二，作商法：
??
???
??
??
?
11
1
1?
n
naa
（an>0）：如an＝
n
nn10)1(9?
方法三，函数法（利用单调性）：对于an＝f（n），研究函数f（n）的单调性，如an＝
1562?nn
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壹號学堂家庭作业
学生姓名：_________
1、两种贷款偿还比较
（1）等额还本付息
贷款总额为a元，年利率为r，每满一年还款一次，等额n次还清，试求每一次等额还款数b元。
分析：逐月还本付息法
解：由题意，第n年还款b元是该年所还本金an以及在该次还款之前an在n年中所产生的复利，即an
（1＋r）n＝b，所以an＝??
nrb?1
，
∴a1＋a2＋a3＋…＋an＝a，即????????
nnrbrbrbrbrb???????????11111132?
＝a，
∴a＝
r
rr
bn
??
???
?
???
??
?
??
?
?
???
1
11
1
11
1＝????
??nnrrrb???111。∴b＝????111???nnrrar。
（2）等本金还本付息
贷款总额为a元，年利率为r，每满一年还款一次，等本金n次还清，试求n次总计还款数p元。
2、一个黑色生两个白球，一个白球生一个黑球一个白球！在第一列有一个黑球，那么第二列就有两个
白球，第三列有两个黑球、两个白球，第四列…请问第n列有几个黑球？
解：显然，第n列黑球白球的总个数为2n个。
设第n列白球为nw个，黑球为nb个，则112nnnwbw????，1nnbw??，b1=1，w1=0，b2=0，w2=2
所以122nnnwww????，→??1122nnnnwwww??????（n≥3）
所以数列{1nnww??}是首项为2，公比为2的等比数列，所以112nnnww????①，显然n=2时也成立
将①的左右同时除以12n?，得112
11222112222nnnnnnnnwwww?????????????11211222222nnnnnnnnwwww???????????????????????
112112122222nnnnnnnnwwww?????????????????
，易得211222ww??
11121
1211112222222
nnnnwwww???
???????????????????????????
22121
1211112222222
nnnnwwww???
???????????????????????????
1
32
32
21
21
11
2222
1
222
ww
ww
???????
??
??
??
??
????
1221
11111
11111
1
11
1
1
1
111111112
1
122222232222232
1
2
112222
211
3333332
2
n
nnn
nnn
nnnn
nnn
nnn
nnn
n
n
www
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b
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???
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?????
????
1
1122
1
33
n
n
nw
?
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