Gothedistance
人教B版必修五数列求通项公式及求和专题
通项公式
数列求和
用于1()nnaafn???型
先写出数列前几项观察数列变
化规律猜测出通项后，用数学归
纳法证明
（“退一步”思想）即由已知推
出相邻的递推式后将两式作差
化简得出结论
构造
等差
等比
数列
等）
公式法
叠加法
用于等差、等
比数列相关公
式
递推方法
猜想归纳法
构造辅
助数列
叠乘法
chengc
heng
法
观察法
数列求通项的一般方法
nS与na的关系
利用?1
1
2,1nnssnnsna?????，
易漏n=1哟！
用于1()nnaafn??
型已知条件
把一组需要求和的数列拆分成两
组或两组以上的特殊数列来求和
把通项公式是分子为非零常数，分
母为非常数列的等差数列的两项积
的形式拆成两个分式差的形式之后
再求和倒序相加
法
裂项相消法
错位相减法
分组求和
法
主要是针对等差等比数列，
直接应用求和公式
公式法
数列求和的一般
方法（五种）
若某数列中，与首末两项等距离的两
相和等于首末两项和，可采用把正着
写的和倒着写的两个式子相加，就得
到一个与常数数列求和相关的式子
设数列??na的等比数列，数列??nb
是等差数列，求数列??nnba的前n
项和时，常常将??nnba的各项乘以
??nb的公比，并向后错一项与
??nnba的同次项对应相减，即可转
化为特殊数列求和
Gothedistance
求数列通项公式，关键是观察已知“递推式的形式”，进而决定选择什么方法求通项。
数列求和问题，关键是观察所求出通项公式的形式，进而决定选择什么方法求和。
几种常见的数列的通项公式的求法
学习目标：1.知道各种求通项公式的方法
2.观察给出的条件的特点，会选择适当的方法求数列的通项公式
一．观察法：关键是找出各项与项数n的关系
例题1．根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：
（1）9，99，999，9999，…
（2）?,17164,1093,542,211
练习：（1）?,52,21,32,1
（2）?,54,43,32,21??
二、定义法：已知数列类型、或者是能判断出数列类型（此方法常考）
例题：1.等差数列??na是递减数列，且432aaa??=48，432aaa??=12，
则数列的通项公式是
2．在各项为负数的数列{an}中，已知132??nnaa，且278
63?aa
，数列{an}的通项公式是
3．已知a1=1,且数列{
21
11??na}是公差为2的等差数列,则{an}的通项公式为
4．数列{an}中,an+1=an2+2且an>0，a1=2，求an
练习:1.如数列{an}的各项都为正数，且满足an+1=an+2an+1，a1=4，求an．
2．数列{an}中,a1=2,an+1=
3an
an+3，求an
Gothedistance
3．在数列{an}中,若a1=15,当n≥2时,有an－1－an－4an－1an=0,则an=___________．
【三、叠加法】一般地，对于型如)(-1nfaann??类的递推式
例题．1数列{an}中，an+1=an+4n+1，a1=2，求an
2．数列{an}中，a1＝1，an=an－1+3n-1(n∈N且n≥2)，求an
四、叠乘法:一般地，对于型如)(1nf
aann??
类的递推式
例题：1.数列{an}中，1a=1，(n+1)·1?na=n·na，求na的表达式。
练习：2．数列{an}中，a1=1，an+1a
n
=n+2n，求an．
五、公式法：已知“Sn的关系式”或“Sn与an的关系式”利用1???nnnSSa(n≥2)
例题1．数列{an}中，前n项和12??nsn，求}{na的通项公式。
Gothedistance
2．数列{an}中，an与Sn满足Sn=2?3an，求an
练习：1.数列{an}中，an＞0，前n项和为Sn，且满足Sn=18(an+2)2.求an.
2．数列{an}中，31
1?a
，前n项和nS与na的关系是nnannS)12(??，试求通项公式na
六、待定系数法：一般地，对于型如),(1为常数BABAaann???的递推式
例题：1.数列{an}中，a1=1，an+1=23an+1，求an．
2．数列{an}中，121???nnaa，且11?a求通项na。
课堂小测：
1.已知数列{}na满足112313nnnaaa??????，，求数列{}na的通项公式。
2已知数列{}na满足
221???nnnaaa
，11?a，求数列{}na的通项公式。
Gothedistance
3.已知数列{}na满足11231123(1)(2)nnaaaaanan?????????，，
求{}na的通项公式。
数列求和
学习目标：1.知道各种求通项公式的方法
2.观察所求通项公式的形式，选择适当方法求和。
一、直接用等比、等差数列求和公式：已知数列为等差、等比数列
例1．{an}为等差数列，Sn为其前n项和，S7=7，S15=75，Tn为数列｛Snn｝的前n项和，求Tn
2．在等比数列{an}中，已知q＞0，a2=1，a4=14，又bn=anan+1，试求数列{bn}的前n项和Sn.
练习：1．已知数列lgx+lgx2+…+lgx10=110,则lgx+lg2x+…+lg10x=
2．数列{an}的通项公式为an=22n-1，则此数列的前6项和为___________．
3．在数列｛an｝中，an＝2×3n-1，求数列中前n个偶数项的和．
4．数列{an}是等比数列,Sn为其前n项和,公比q≠1,已知1是12S2和13S3的等差中项,6是2S2
与3S3的等比中项．
Gothedistance
(1)求S2和S3．(2)求此数列的通项公式．(3)求数列{Sn}的前n项和Tn．
二、错位相减法：形如
例题：1.求和：Sn=1+322+423+…+n+12n
练习：1.1.求和：132)12(7531???????????nnxnxxxS
2.已知数列{an}是等差数列,且a1=2,a1+a2+a3=12．
(1)求数列{an}的通项公式．(2)令bn=an×2n-1,求数列{bn}的前n项和Sn．
三、裂项相消法】
例题：数列{an}的通项公式an=
)2(1?nn
，求它的前n项和Sn．
Gothedistance
例2．数列{an}的通项公式是an=11+2+3+…+n，求它的前n项和Sn．
3．已知数列{an}中,an=(2n)
2
(2n)2?1，求它的前n项和Sn．
4．等差数列{an}的各项均为正数，a1=3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1=1,且b2S2=64，
b3S3=960。
①求an和bn;求和1S
1
+1S
2
+1S
1
+……+1S
n
.
练习：1．已知等差数列{an}中，an＝2n＋3，求和1a
1a2
＋1a
2a3
＋1a
3a4
＋…＋1a
nan+1
．
2．①an=1n(n+1)，前n项和Sn__________．②an=1(2n-1)(2n+1)，前n项和Sn____________．
③an=
nn??11
，前n项和Sn____________
四、分组求和法】通项公式为几个可求和数列的和差
例题：1.求通项为an=2n+2n－1的数列的前n项和．
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2.求Sn=112+214+318+…+(n+12n)．
3．已知数列{an}的通项公式为an=2n?3×5?n，求它的前n项和Sn．
练习题：1.求和：(x+1x)+(x2+1x2)+……+(xn+1xn)．
2．数列1，1+2，1+2+22，…1+2+22+…+2n-1,…则前n项和等于
五、并项求和法：
例题：已知Sn=1－5+9－13+17－21+…+(－1)n-1(4n－3)，则S15+S22－S31的值为______．
练习：已知Sn=1?2+3?4+…+(?1)n?1n，S17+S33+S50的值为______．
课堂小测：
1.求和Sn=
nnnn212232252321132?????????
n项和公式。
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2.求和：Sn＝111
1447(32)(31)nn?????????
求和求通项反馈练习
1、在数列{}na中，
1112,ln(1)nnaaan?????
，则na?（）
A、2lnn?B、2(1)lnnn??C、2lnnn?D、1lnnn??
2、已知数列{}na的前n项和为2(0,)nnSaaaR????，那么数列{}na()
A、是等比数列B、当1a?时是等比数列
C、从第二项起成等比数列D、从第二项起成等比数列或等差数列
3、在数列{}na中，0na?且满足1
1
3(2)32nn
n
aana?
?
???，则数列1{}
na
是（）
A、递增等差数列B、递增等比数列C、递减数列D、以上都不对
4、求和：3+33+333+……+3333
n个
等于（）
A、11010273nn???B、10193nn??C、1019nn??D、109n
5、设1()
22xfx??
，则(5)(4)(0)(5)(6)fffff????????的值为（）
A、2B、22C、32D、62
6求和：3+33+333+……+3333
n个
等于（）
Gothedistance
A、11010273nn???B、10193nn??C、1019nn??D、109n
7、在数列{}na中，13a?，且对任意大于1的正整数n，点1(,)nnaa?在直线30xy???上，
则na=_________________
8、数列1,23,456,78910,1112131415,??????????的一个通项公式______
9、数列{}na中，111,nnaaan????，求na=_________________
10、数列{}na中，若
1121,,()3(1)(2)nnaaanNnn???????
，则通项公式na=_______
11、211113()(21)()____222nn????????
12、2222121234(1)___nn?????????
高二文科数列练习题
1．在等差数列
119121086431240}{aaaaaaaan??????，则中，若
的值为（）
A．30B．31C．32D．33
2．已知数列｛an｝为等差数列，若11
101
aa??，且它们的前n项和为Sn有最大值，则使得Sn＜0的n的最
小值为（）
A．11B．19C．20D．21
3．已知等差数列}a{n的公差为2，若431a,a,a成等比数列，则1a=
A．－4B．－8C．－6D．－10
4．若{}na为等差数列，nS是前n项和，且
11223S??
，则6cosa的值为（）
A．12?B．22?C．3?D．32?
5．设??na为等差数列，nS为其前n项和，且354aa??，则7S等于（）
A．13B．14C．15D．16
6．已知??na为等差数列,若????951aaa,则28cos()aa?的值为（）
Gothedistance
A．21?B．23?C．21D．23
7．已知等差数列nan的前}{项和为
mSaaamSmmmmn则且若,38,0,1,12211????????等于（）
A.38B.20C.10D.9
8．等比数列}{na中，nS是前n项和，若123,2,3SSS成等差数列，则数列}{na的公比为
A．13?B．13C．12D．12?
9．已知}{na为等差数列，105531???aaa，99642???aaa，则20a等于（）
A.1?B.1C.3D.7
10．等差数列{an}的前n项和为nS(n＝1,2,3，…)，若当首项a1和公差d变化时，
1185aaa??是一个定值，则下列选项中为定值的是()
A．17SB．18SC．15SD．16S
11．等差数列{}na的前n项和为5128,11,186,nSaSa??则=（）
A．18B．20C．21D．22
12．在等差数列{}na中，前n项的和为nS，若81126aa??，则9S?
A.54B.45C.36D.27
13．设等差数列??na的前n项和为ns，若104?s，155?s，则4a的最大值是______
14．nS为等差数列{}na的前n项和，266aa??，则?7S.
15．设1,ad为实数，首项为1a，公差为d的等差数列??na的前n项和为nS，满足56150SS??，则d的
取值范围是__________________.
16．已知{}na是等差数列，6720aa??，7828aa??，则该数列前13项和13S等于_____
17．已知}{na是等差数列，其前n项和为Sn，已知,153,1193??Sa
（1）求数列}{na的通项公式；
Gothedistance
（2）设nnba2log?，证明}{nb是等比数列，并求其前n项和Tn.
18．已知等差数列{}na满足02?a，1086??aa
(I)求数列{}na的通项公式；
(II)求数列??
?????12nna
的前n项和．
19．设等差数列??na的前n项和为nS，等比数列??nb的前n项和为,nT已知数列??nb的公比为
,1),0(11???baqq.,452335baTS???
（1）求数列??na，??nb的通项公式；
（2）求.
13221???????nnaa
qaaqaaq
Gothedistance
20．已知Sn是数列}{na的前n项和，且.2),2(211?????anSann
（Ⅰ）求数列}{na的通项公式；
（Ⅱ）设
nnnnnnbbbTab2212,log1????????
，是否存在最大的正整数k，使得对于任意的正整数
n，有
12kTn?
恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
21．已知等差数列}{na的公差不为零，且53?a，521,,aaa成等比数列．
（Ⅰ）求数列}{na的通项公式；
（Ⅱ）若数列}{nb满足21123222nnnbbbba??????，求数列}{nb的前n项和nT．
Gothedistance
22．已知等差数列??na满足：37a?，5726aa??．??na的前n项和为nS．
（1）求na及nS；
（2）令bn=2
11
na?(n?N)，求数列??nb的前n项和
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