高一数学同步学
名校期中考题每日一练(51)
【题1】已知函数()1xfxx??.
（Ⅰ）证明：对于定义域中任意的x均有(1)(1)2fxfx????；
（Ⅱ）用函数单调性的定义证明函数()fx在(1,)??上是减函数.
【题2】设函数()logafxx?（01a??）.
（Ⅰ）若2()(2)fxxf??，求x的取值范围；
（Ⅱ）记函数()fx的反函数为()gx.若(1)0akgx???在[2,)??上恒成立，求k的最小值.
【题3】借助计算机（器）作某些分段函数图象时，分段函数的表示有时可以利用函数
1,0,()0,0.xSxx??????例如要表示分段函数
,2,
()0,2,
,2.
xx
gxx
xx
???
????
???
可以将()gx表示为
()(2)()(2)gxxSxxSx?????.
设22()(43)(1)(1)(1)fxxxSxxSx????????.
（Ⅰ）请把函数()fx写成分段函数的形式；
（Ⅱ）设()()Fxfxk??，且()Fx为奇函数，写出满足条件的k值；（不需证明）
（Ⅲ）设2222()()()()()hxxxaaSxaxxaaSax??????????，求函数()hx的最小值.
【题1】证明：（Ⅰ）11(1)(1)1111xxfxfxxx???????????…………………2分
112xx?????.…………………4分
（Ⅱ）设12xx，是(1)??，上的两个任意实数，且12xx?，则210xxx????，
2121
21()()11
xxyfxfxxx???????…………………6分
211212
1212
(1)(1)(1)(1)(1)(1)xxxxxxxxxx??????????.…………………8分
因为121xx??，所以110x??，210x??，120xx??，
所以0y??，…………………9分
所以()fx在(0)??，上是减函数.…………………10分
【题2】解：（Ⅰ）由已知2log()log2aaxx??，
因为01a??，所以202xx???，…………………2分
解22xx??，得12x???.
解20xx??，得1x?或0x?.
所以x的取值范围是{10xx???或12}x??.…………………4分
（Ⅱ）()gx为()fx的反函数，所以()xgxa?.…………………5分
由已知10xaka???在区间[2,)??上恒成立，
因为10xa??，所以21()xka???在区间[2,)??上恒成立，…6分
即k大于等于21()xa??的最大值.…………………7分
因为01a??，所以11a?，又2[0,)x????，
所以21()xa?的最小值为1，21()xa??的最大值为1?，………………9分
所以1k??，
所以k的最小值为1?.…………………10分
【题3】解：（Ⅰ）2
2
43,1,()1,1.xxxfxxx??????????
??
…………………2分
（Ⅱ）当1k??时，()Fx为奇函数.…………………4分
（Ⅲ）由已知22,,()
,.xxaaxahxxxaaxa
????????
??????
并且函数22sxxaa????与22txxaa????在xa?处的值相同.……5分
当12a?时，()hx在区间1(,)2???上单调递减，在区间1(,)2a?上单调递增，在区间(,)a??上单调
递增.
所以，()hx的最小值为2221111()()()2224faaaa???????????.………6分
当1122a???时，()hx在区间1(,)2???上单调递减，在区间1(,)2a?上单调递增，在区间1(,)2a上
单调递减，在区间1(,)2??上单调递增.
所以()hx最小值为1()2f?与1()2f中较小的一个，即214aa???与214aa???中较小的一个.
当102a???时，()hx的最小值为214aa???.…………………7分
当102a??时，()hx的最小值为214aa???.………………8分
当12a??时，在区间(,)a??上单调递减，在区间1(,)2a上单调递减，在区间1(,)2??上单调递增.
所以()hx的最小值为2221111()()()2224faaaa????????.……9分
综上，当0a?时，()hx的最小值为214aa???，当0a?时，()hx的最小值为
214aa???.………………10分
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