高一数学同步学
名校期中考题每日一练(75)
一、填空题
1．函数f(x)＝sin??????2x＋π3图象的对称轴方程为________．
2．将函数f(x)＝sinωx(其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点??????3π4，0，
则ω的最小值是________．
3．若函数f(x)＝sinx＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________.
4．若三角函数f(x)的部分图象如图，则函数f(x)的解析式，以及S＝f(1)＋f(2)＋…＋f(2012)
的值分别为________．
5．函数f(x)＝sin??????2x＋π6，g(x)＝cos(x＋φ)，|φ|<π2.如果f(x)有对称轴经过g(x)的对称中心，
则g??????π3的值为________．
6．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数．若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，
π
2]时，f(x)＝sinx，则f??
?
??
?5π
3的值为________．
7．若f(x)＝2sinωx(0<ω<1)在区间??????0，π3上的最大值是2，则ω＝________.
8．已知函数f(x)＝12(sinx＋cosx)－12|sinx－cosx|，则f(x)的值域是________．
9．已知过原点的直线与函数y＝|sinx|(x≥0)的图像有且只有三个交点，α
是交点中横坐标的最大值，则?1＋α
2?sin2α
2α的值为________．
10．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)??????ω>0，|φ|<π2，给出以下四个论断：
①它的最小正周期为π；
②它的图像关于直线x＝π12成轴对称图形；[来源:学+科+网]
③它的图像关于点??????π3，0成中心对称图形；
④在区间??????－π6，0上是增函数．
以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题
________(用序号表示即可)．
二、解答题
11．设f(x)＝1－2sinx.
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f(x)的值域及取最大值时x的值．
12．已知函数f(x)＝cos??????2x－π3＋2sin??????x－π4sin??????x＋π4.
(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴；
(2)求函数f(x)在区间??????－π12，π2上的值域．
13．已知函数f(x)＝sin2x＋acos2x(a∈R，a为常数)，且π4是函数y＝f(x)的零点．
(1)求a的值，并求函数f(x)的最小正周期；
(2)若x∈??????0，π2，求函数f(x)的值域，并写出f(x)取得最大值时x的值．
14．已知a＞0，函数f(x)＝－2asin??????2x＋π6＋2a＋b，当x∈??????0，π2时，－5≤f(x)≤1.
(1)求常数a，b的值；
(2)设g(x)＝f??????x＋π2且lgg(x)＞0，求g(x)的单调区间．
1.答案x＝π12＋kπ2(k∈Z)
2.解析将函数f(x)＝sinωx的图象向右平移π4个单位长度得到函数y＝sin??????ω??????x－π4的图象，
因为所得图象经过点??????3π4，0，则sinωπ2＝0，所以ω2π＝kπ，即ω＝2k，又ω>0，所以ωmin＝
2.
答案2
3.解析由已知f(x)＝sinx＋φ3是偶函数，可得φ3＝kπ＋π2，即φ＝3kπ＋3π2(k∈Z)．又φ∈[0,2π]，
所以φ＝3π2.
答案3π2
4.解析根据已知图象，可设f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋1(ω>0，A>0)，由T＝4得2πω＝4，∴ω＝π2，
A＝f?x?最大值－f?x?最小值2＝1.5－0.52＝12，又f(0)＝12sinφ＋1＝1，∴sinφ＝0，得φ＝0，∴f(x)＝12sinπx2
＋1.
又f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1.5＋1＋0.5＋1＝4，
∴S＝f(1)＋f(2)＋…＋f(2012)＝503×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＝503×4
＝2012.
答案f(x)＝12sinπx2＋1，S＝2012
5.解析考查三角函数的对称性．熟记f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴与对称中心的通解．
f(x)图象的对称轴为x＝k2π＋π6(k∈Z)，g(x)的对称中心为
??
?
??
?nπ＋π
2－φ，0(n∈Z)，
∴φ＝??????n－k2π＋π3，
∵|φ|<π2，∴φ＝π3或－π6，∴g??????π3＝－12或32.
答案－12或32
6.解析f??????5π3＝f??????－π3＝f??????π3＝sinπ3＝32.
答案32
7.解析由0≤x≤π3，得0≤ωx≤ωπ3<π3，
则f(x)在??????0，π3上单调递增，且在这个区间上的最大值是2，所以2sinωπ3＝2，且0<ωπ3<π3，
所以ωπ3＝π4，解得ω＝34.
答案34
8.解析f(x)＝12(sinx＋cosx)－12|sinx－cosx|
＝???cosx?sinx≥cosx?，sinx?sinx
画出函数f(x)的图象，可得函数的最小值为－1，最大值为22，故值域为??????－1，22.
答案??????－1，22
9.解析y＝|sinx|(x≥0)的图像如图，
若过原点的直线与函数y＝|sinx|(x≥0)的图像有且只有三个交点，则第三个交点的横坐标为
α，且α∈??????π2，3π2，
又在区间(π，2π)上，y＝|sinx|＝－sinx，则切点坐标为(α，－sinα)，
又切线斜率为－cosα，
则切线方程为y＋sinα＝－cosα(x－2)
y＝－cosx＋αcosα＝－sinα，
又直线过原点，把[0,0)代入上式得，α＝tanα
∴?1＋α
2?sin2α
2α
＝?1＋tan
2α?2sinαcosα
2tanα
＝(1＋tan2α)cos2α
＝??????1＋sin
2α
cos2αcos
2α＝cos2α＋sin2α＝1.[来源:Z&xx&k.Com]
答案：1
10.解析若①、②成立，则ω＝2ππ＝2;令2·π12＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，且|φ|<π2，故k＝0，∴φ
＝π3.此时f(x)＝sin??????2x＋π3，当x＝π3时，sin??????2x＋π3＝sinπ＝0，∴f(x)的图像关于??????π3，0成中
心对称；又f(x)在??????－5π12，π12上是增函数，∴在??????－π6，0上也是增函数，因此①②?③④，
用类似的分析可得①③?②④.因此填①②?③④或①③?②④.
答案①②?③④(也可填①③?②④)
11.解(1)由1－2sinx≥0，根据正弦函数图象知：
定义域为{x|2kπ＋56π≤x≤2kπ＋13π6，k∈Z}．
(2)∵－1≤sinx≤1，∴－1≤1－2sinx≤3，
∵1－2sinx≥0，∴0≤1－2sinx≤3，
∴f(x)的值域为[0，3]，
当x＝2kπ＋3π2，k∈Z时，f(x)取得最大值．
12.解(1)f(x)＝cos??????2x－π3＋2sin??????x－π4sin??????x＋π4
＝12cos2x＋32sin2x＋(sinx－cosx)(sinx＋cosx)
＝12cos2x＋32sin2x＋sin2x－cos2x
＝12cos2x＋32sin2x－cos2x＝sin??????2x－π6.
∴最小正周期T＝2π2＝π，由2x－π6＝kπ＋π2(k∈Z)，
得x＝kπ2＋π3(k∈Z)．
∴函数图象的对称轴为x＝kπ2＋π3(k∈Z)．
(2)∵x∈??????－π12，π2，∴2x－π6∈??????－π3，5π6，
∴－32≤sin??????2x－π6≤1.
即函数f(x)在区间??????－π12，π2上的值域为??????－32，1.
13.解(1)由于π4是函数y＝f(x)的零点，
即x＝π4是方程f(x)＝0的解，
从而f??????π4＝sinπ2＋acos2π4＝0，
则1＋12a＝0，解得a＝－2.
所以f(x)＝sin2x－2cos2x＝sin2x－cos2x－1，
则f(x)＝2sin??????2x－π4－1，
所以函数f(x)的最小正周期为π.
(2)由x∈??????0，π2，得2x－π4∈??????－π4，3π4，则sin??????2x－π4∈??????－22，1，
则－1≤2sin??????2x－π4≤2，－2≤2sin??????2x－π4－1≤2－1，
∴函数f(x)的值域为[－2，2－1]．
当2x－π4＝2kπ＋π2(k∈Z)，即x＝kπ＋38π时，f(x)有最大值，
又x∈??????0，π2，故k＝0时，x＝38π，
f(x)有最大值2－1.
14.解(1)∵x∈??????0，π2，∴2x＋π6∈??????π6，7π6.
∴sin??????2x＋π6∈??????－12，1，又∵a>0，
∴－2asin??????2x＋π6∈[－2a，a]．∴f(x)∈[b,3a＋b]，
又∵－5≤f(x)≤1，∴b＝－5,3a＋b＝1，
因此a＝2，b＝－5.
(2)由(1)得a＝2，b＝－5，∴f(x)＝－4sin??????2x＋π6－1，
g(x)＝f??????x＋π2＝－4sin??????2x＋7π6－1＝4sin??????2x＋π6－1，
又由lgg(x)＞0，得g(x)＞1，
∴4sin??????2x＋π6－1＞1，∴sin??????2x＋π6＞12，
∴2kπ＋π6＜2x＋π6＜2kπ＋5π6，k∈Z，
其中当2kπ＋π6＜2x＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z时，g(x)单调递增，即kπ＜x≤kπ＋π6，k∈Z，
∴g(x)的单调增区间为??????kπ，kπ＋π6，k∈Z.
又∵当2kπ＋π2＜2x＋π6＜2kπ＋5π6，k∈Z时，g(x)单调递减，即kπ＋π6＜x＜kπ＋π3，k∈Z.
∴g(x)的单调减区间为??????kπ＋π6，kπ＋π3，k∈Z.
综上，g(x)的递增区间为??????kπ，kπ＋π6(k∈Z)；递减区间为??????kπ＋π6，kπ＋π3(k∈Z)．
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