高一数学同步学
名校期末考题每日一练(99)
平面向量基本定理
一、基础过关
1．若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是()
A．e1－e2，e2－e1B．2e1＋e2，e1＋12e2
C．2e2－3e1,6e1－4e2D．e1＋e2，e1－e2
2．下面三种说法中，正确的是()
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有
无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．
A．①②B．②③C．①③D．①②③
3．若a、b不共线，且λa＋μb＝0(λ，μ∈R)，则()
A．a＝0，b＝0B．λ＝μ＝0
C．λ＝0，b＝0D．a＝0，μ＝0
4．若OP1→＝a，OP2→＝b，P1P→＝λPP2→(λ≠－1)，则OP→等于()
A．a＋λbB．λa＋(1－λ)b
C．λa＋bD.11＋λa＋λ1＋λb
5．设向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，若用m，n表示p，则p＝________.
6．在△ABC中，AB→＝c，AC→＝b.若点D满足BD→＝2DC→，则AD→＝____________.
7.如图，在?ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，E、F分别是AB、BC的中点，
G点使DG→＝13DC→，试以a，b为基底表示向量AF→与EG→.
8．如图，?OACB中，OA→＝a，OB→＝b，BD＝13BC，OD与BA相交于E.求证：BE＝14BA.
二、能力提升
9．M为△ABC的重心，点D，E，F分别为三边BC，AB，AC的中点，则MA→＋MB→＋MC→
等于()
A．6ME→B．－6MF→
C．0D．6MD→
10．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上的一点，且
AF
FD＝
1
5，连接CF并延长交AB于E，则
AE
EB等于()
A.112B.13C.15D.110
11.如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC→
＝λAE→＋μAF→，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝________.
12.如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN
＝2NC，AM与BN相交于点P，求证：AP∶PM＝4∶1.
三、探究与拓展
13.如图，△ABC中，AD为三角形BC边上的中线且AE＝2EC，BE交AD
于G，求AGGD及BGGE的值．
答案
1．D2.B3.B4.D5.－74m＋138n6.23b＋13c7.AF→＝a＋12b，EG→＝－16a＋b
8．证明设BE→＝λBA→.
则OE→＝OB→＋BE→＝OB→＋λBA→
＝OB→＋λ(OA→－OB→)
＝λOA→＋(1－λ)OB→＝λa＋(1－λ)b.
OD→＝OB→＋BD→＝13a＋b.
∵O、E、D三点共线，∴OE→与OD→共线，
∴λ1
3
＝1－λ1，∴λ＝14.即BE＝14BA.
9．C10．D11.43
12．证明设AB→＝b，AC→＝c，
则AM→＝12b＋12c，AN→＝23AC→，
BN→＝BA→＋AN→＝23c－b.
∵AP→∥AM→，BP→∥BN→，
∴存在λ，μ∈R，使得AP→＝λAM→，
BP→＝μBN→，
又∵AP→＋PB→＝AB→，∴λAM→－μBN→＝AB→，
∴由λ????12b＋12c－μ????23c－b＝b得
????
1
2λ＋μb＋????
1
2λ－
2
3μc＝b.
又∵b与c不共线．
∴
??
?12λ＋μ＝1，
1
2λ－
2
3μ＝0.
解得
??
?λ＝45，
μ＝35.
故AP→＝45AM→，即AP∶PM＝4∶1.
13．解设AGGD＝λ，BGGE＝μ.
∵BD→＝DC→，即AD→－AB→＝AC→－AD→，
∴AD→＝12(AB→＋AC→)．
又∵AG→＝λGD→＝λ(AD→－AG→)，
∴AG→＝λ1＋λAD→
＝λ2?1＋λ?AB→＋λ2?1＋λ?AC→.
又∵BG→＝μGE→，
即AG→－AB→＝μ(AE→－AG→)，
∴(1＋μ)AG→＝AB→＋μAE→，
AG→＝11＋μAB→＋μ1＋μAE→.
又AE→＝23AC→，
∴AG→＝11＋μAB→＋2μ3?1＋μ?AC→.
∵AB→，AC→不共线，
∴
?
?
?λ2?1＋λ?＝11＋μ，
λ
2?1＋λ?＝
2μ
3?1＋μ?.
解之，
得
??
??
?λ＝4，
μ＝32.∴
AG
GD＝4，
BG
GE＝
3
2.
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