第11讲§2.1.1指数与指数幂的运算
¤学习目标：理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理数指数幂的运算.
¤知识要点：
1.若，则x叫做a的n次方根，记为，其中n>1，且.n次方根具有如下性质：
（1）在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根没有意义；零的任何次方根都是零.
（2）n次方根（）有如下恒等式：
；；，（a0）.
2.规定正数的分数指数幂：（）；.
¤例题精讲：
【例1】求下列各式的值：
（1）（）；（2）.
解：（1）当n为奇数时，；
当n为偶数时，.
（2）.
当时，；当时，.
【例2】已知，求的值.
解：.
【例3】化简：（1）；（2）（a＞0，b＞0）；（3）.
解：（1）原式=.
（2）原式====.
（3）原式=.
点评：根式化分数指数幂时，切记不能混淆，注意将根指数化为分母，幂指数化为分子，根号的嵌套，化为幂的幂.正确转化和运用幂的运算性质，是复杂根式化简的关键.
【例4】化简与求值：
（1）；（2）.
解：（1）原式=
===4.
（2）原式=
==.
点评：形如的双重根式，当是一个平方数时，则能通过配方法去掉双重根号，这也是双重根号能否开方的判别技巧.而分母有理化中，常常用到的是平方差公式，第2小题也体现了一种消去法的思想.第（1）小题还可用平方法，即先算得原式的平方，再开方而得.
第11练§2.1.1指数与指数幂的运算
※基础达标
1．化简的结果是（）.
A.B.C.3D.5
2．下列根式中，分数指数幂的互化，正确的是（）.
A.B.C.D.
3．下列各式正确的是（）.
A.B.C.D.
4．计算，结果是（）.
A.1B.C.D.
5．化简，结果是（）.
A.B.C.D.
6．化简的结果是.
7．计算.
※能力提高
8．化简求值：（1）；（2）.
9．已知=3，求下列各式的值：（1）；（2）.
※探究创新
10．已知函数，.
（1）判断、的奇偶性；
（2）分别计算和，并概括出涉及函数和对所有不为0的实数x都成立的一个等式，并加以证明.
第12讲§2.1.2指数函数及其性质（一）
¤学习目标：理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点，掌握指数函数的性质.
¤知识要点：
1.定义：一般地，函数叫做指数函数（exponentialfunction），其中x是自变量，函数的定义域为R.
2.以函数与的图象为例，观察这一对函数的图象，可总结出如下性质：
定义域为R，值域为；当时，，即图象过定点；当时，在R上是减函数，当时，在R上是增函数.
¤例题精讲：
【例1】求下列函数的定义域：
（1）；（2）；（3）.
解：（1）要使有意义，其中自变量x需满足，即.∴其定义域为.
（2）要使有意义，其中自变量x需满足，即.∴其定义域为.
（3）要使有意义，其中自变量x需满足，即.∴其定义域为.
【例2】求下列函数的值域：
（1）；（2）
解：（1）观察易知，则有.∴原函数的值域为.
（2）.令，易知.则.
结合二次函数的图象，由其对称轴观察得到在上为增函数，
所以.∴原函数的值域为.
【例3】（05年福建卷.理5文6）函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（）.
A． B．
C． D．
解：从曲线的变化趋势，可以得到函数为减函数，从而00，即b<0.所以选D.
点评：观察图象变化趋势，得到函数的单调性，结合指数函数的单调性，得到参数a的范围.根据所给函数式的平移变换规律，得到参数b的范围.也可以取x=1时的特殊点，得到，从而b<0.
【例4】已知函数.
（1）求该函数的图象恒过的定点坐标；（2）指出该函数的单调性.
解：（1）当，即时，.
所以，该函数的图象恒过定点.
（2）∵是减函数，
∴当时，在R上是增函数；当时，在R上是减函数.
点评：底数两种情况的辨析，实质就是分类讨论思想的运用.而含参指数型函数的研究，要求正确处理与参数相关的变与不变.
第12练§2.1.2指数函数及其性质（一）
※基础达标
1．下列各式错误的是（）.
A.B.C.D.
2．已知，在下列不等式中成立的是（）.
A.B.C.D.
3．函数y=ax+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（）.
A.（0，1） B.（1，0）C.（2，1） D.（0，2）
4．设满足，下列不等式中正确的是（）.
A.B.C.D.
5．世界人口已超过56亿，若千分之一的年增长率，则两年增长的人口可相当于一个（）.
A.新加坡(270万)B.香港(560万)C.瑞士(700万)D.上海(1200万)
6．某地现有绿地100平方公里，计划每年按10%的速度扩大绿地，则三年后该地的绿地为_____平方公里.
7．函数的定义域为；函数的值域为.
※能力提高
8．已知为不相等的正数，试比较与的大小.
9．若已知函数，.
（1）求函数的图象恒过的定点坐标；（2）求证：.
※探究创新
10．讨论函数的值域.
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第二章基本初等函数
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