《新课标高中数学必修④精讲精练》——精讲第二章平面向量?
35?
第?18?讲?§2.4.1?平面向量数量积的物理背景及含义¤学习目标：在物理中功的概念的基础上，从四个方面理解向量数量积的概念：数量积的运算式及其变式与运算律；几何意义；数量积的正负与q范围的关系；模长公式.?
¤知识要点：（1）从物理概念?cos?WFsq=urr中抽象出来，我们就可以得到两个非零向量a?r与b?r数量积（inner?product），（记作ab·rr）的概念，即?cos?ababq·=rrrr，其中
q是?,?ab?rr的夹角；（2）数量积也叫内积，其几何意义是：数量积ab·rr等于a?r的长度与b?r在a?r的方向上的投影?cos?bqr
（projection）的乘积；（3）ab·rr是一个数量，若a?r与b?r非零，则其正负由?,?ab?rr的夹角q的范围来确定：?00?
2?abpq￡rr，特别地：?2?2?aaaaaaa·=?=·=rrrrrrr（模长公式）；?0?2?ababpq=?^?·=rrrr；?0?2?abpqp<￡?·
（4）、因为?cos1q￡，所以?ab·rr?ab￡rr?.?¤例题精讲：【例?1】已知?4,7?ab==rr，当下列情况时，分别求ab·rr：（1）?//?ab?rr；（2）ab^rr?.?
解：（1）?//?ab?rr?0qqp?==或，所以ab·rr?cos047128?ab==′′=rr；或ab·rr?cos47128?abp==′′-=-rr（）?.?
（2）当ab^rr时，ab·rr?0?cos904700?ab==′′=rr?.?点评：两个向量的平行包括同向与反向两种情形，?0?ab·=rr是两个非零向量a?r与b?r互垂的充要条件.?【例?2】已知?10,12?ab==rr，且?60?ab·=-rr，求a?r与b?r夹角q?.?
解：由?cos?ababq·=rrrr，得?601?cos?1202?ab?abq·-===-rrrr?.?又0qp￡￡，所以?2?3qp=?.?【例?3】正方形?ABCD?的边长为?1，设ABa=uurr，BCb=uurr，?ACc=uurr，求?abc++rrr?.?
解：?222?2?()2()?abcabcabcabbcca++=++=+++·+·+rrrrrrrrrrrrrrrg?222000?11(2)2(cos902cos452cos45)22=+++++=?.?
点评：注意模长公式?2?aa=rr的灵活运用.?【例?4】已知a?r、b?r是两个非零向量，且?abab==-rrrr，求a?r与ab+rr的夹角.?
解：设a?r与ab+rr的夹角为q，由?ab=rr得?22?ab=rr，又?2222?2?()2?bababaabb=-=-=-·+rrrrrrrrr，所以?2?1?2?aba·=rrr，而?2222?2?()23?ababaabba+=+=+·+=rrrrrrrrr，得?3?aba+=rrr
所以?22?1?()3?2?cos?2?3?aa?aab?aabaaq+·+===+rrrrrrrrrrg，?0qp￡￡Q，?
6pq\=?.?点评：由夹角公式?()?cos?aab?aabq·+=+rrrrrr，只要用同一个量?a?r来表示出ab·rr和?ab+rr便可以得解.?向量
在几何中有着较为广泛的应用，常用来解决长度（如例?3）与角度问题（如例?4）.
|
|
