《新课标高中数学必修④精讲精练》——精讲第三章三角恒等变换?
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第?23?讲?§3.1.1?两角差的余弦公式¤学习目标:?建立两角差的余弦公式，通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）角公式打基础.?
¤知识要点：?1、两角差的余弦公式：cos()coscossinsinababab-=+?.?2、向量方法证明公式.?具体的证明思路是：如右图，角?,ab的终边分别与单元圆交于?
A、B?两点.?则?(cos,sin)?OAaa=uur，?(cos,sin)?OBbb=uur?.?由向量数量积的两种运算，有?||||cos()cos()?OAOBOAOBabab=-=-uuruuruuruurgg，且?coscossinsin?OAOBabab=+uuruurg?.于是得到?cos()coscossinsinababab-=+?.?运用向量工具进行探究，过程十分简洁，但也有不严谨之处.?由向量
数量积的概念，有角?[0,]abp-?，从而公式还需结合诱导公式推广，将任意角ab-转化到[0,]p内的角.?¤例题精讲：【例?1】已知?(0,),?
2pa?且?3?sin?5a=，求?2cos()4pa-的值.?解：?(0,)2pa?Q，?3?sin?5a=，?4?cos?5a\=?.?
2cos()2(coscossinsin)?444pppaaa\-=+?42327?2()?52525=′+′=?.?
【例?2】证明：?3?cos()sin?2pqq-=-?.?证：?333?cos()coscossinsin0cos(1)sin?222pppqqqqq-=+=′+-?
=?sinq-?.?【例?3】若?,ab为锐角，且满足?43?cos,cos()?55aab=+=，求cosb的值.?
分析：观察?,,aabb+，发现三个角之间的关系为?()baba=+-，据此化为差角.?解：Q?,ab为锐角，?0,0,0?
22ppababp\<<<<<+\<+
4334?cos,cos(),sin,sin()?5555aabaab=+=\=+=Q?.[]?coscos()cos()cossin()sinbabaabaaba=+-=+++?344324?
555525=′+′=?.?点评：这种题型常表现为已知两个复角的三角函数值，求其它.解题关键是观察比较之后，发现三个角之间的关系，化所求角为两个已知角的和或差.这种角的变换是解题关键.
【例?4】设?11?coscos,sinsin?23abab+=+=，求cos()ab-的值.?分析：由公式cos()coscossinsinababab-=+知，对已知条件两边平方相加即可.?
解：由?22?11?coscoscos2coscoscos?24abaabb+=T++=（1）,?
22?11?sinsinsin2sinsinsin?39abaabb+=T++=（2）,?（1）+（2）得?2+2(coscossinsin)abab+?13
36=?,\?59?cos()?72ab-=-?.?点评：三角变换时，平方法是常用的一种途径.
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