《新课标高中数学必修④精讲精练》——精讲第三章三角恒等变换?
51?
第?26?讲?§3.1.3?二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）¤学习目标:?能熟练用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的化简、求值和恒等式证明.?
¤知识要点:?1、倍角公式：?22?sin22sincos?cos2cossinaaaaaa==-?2?2cos1a=-?2?12sina=-；?
2?2tan?tan2?1tanaaa=-；?2、由二倍角的正弦公式，逆向可得到?1?sincossin2?2aaa=；由二倍角的余弦公式，逆向可得到?sin?2?α?
＝?1cos2?2-a，cos?2?α＝?1cos2?2+a?.?这组倍角公式的变形，一般用于降次.?¤例题精讲：
【例?1】已知?3?sincos?10?xx=，求?4sin()sin()?44?xxpp-+的值.?解：?33?sincossin2?105?xxx=\=Q则4sin()sin()4sin()cos()?44424?xxxxpppppéù-+=--+êú???
4sin()cos()2sin2()2sin(2)?4442?xxxxpppp=--=-=-?2cos2x=?2?21sinx=±-?8?5=±?.?【例?2】求证：（1）?
2?2tan?sin2?1tan?x?x?x=+；（2）?2?2?1tan?cos2?1tan?x?x?x-=+?.?证明：（1）?
22?2sincos?sin22sincos?cossin?xx?xxx?xx==+?2?2tan?1tan?x?x=+；（2）?22?22?
22?cossin?cos2cossin?cossin?xx?xxx?xx-=-=+?2?2?1tan?1tan?x?x-=+?.?【例?3】已知?32?cos,cos?52ab==且?,(0,)2pab??,求tan2()ab-的值.?
解：?3?cos?5a=?,?4?(0,),sin?25paa?\=Q?,则?4?tan?3a=?.?又?2?cos,(0,),tan1?22pbbb=?\=Q?.?4?1?tantan?3?
tan()?4?1tantan?11?3ababab---==++′?1?7=?.
2?2?1?2?2tan()7?7?tan2()?1tan()25?1?1?7ababab′-\-===+-??+?÷è??.?点评：给值求值的问题，要特别注意角度的范围，以免错解、漏解.?
【例?4】求?22?sin20cos50sin20cos50++oooo的值.?解：?22?sin20cos50sin20cos50++oooo?1cos401cos10?sin20cos50?22-+=++oooo?
1?1(cos40sin10)sin20sin40?2=-++oooo?1?1cos(3010)sin10sin(3010)sin(3010)?2éù=-+++-+??ooooooo?=?
22?13113?1(cos10sin10)(cos10sin10)?22244-++-oooo?=?113?1cos20(1cos20)(1cos20)?
288-++--ooo?3?4=?.?
点评：二倍角的正弦、余弦公式是降次的有利工具.?求值过程中结合角与角之间的关系，选择适当的公式是解决三角问题必备的能力.
|
|
