Gothedistance
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数列专题复习
一．数列的通项公式
1．1()nnaafn???型：累加法
【例题】在数列??na中，
1112,ln(1)nnaaan?????
，则na?（）
.2lnAn?.2(1)lnBn??.2lnCnn?.1lnDnn??
【变式】已知数列{}na中，11a?，且13nnnaan????，则数列{}na的通项公式为．
2．1()n
n
afna??型：累乘法
【例题】已知数列{}na中，11a?，且12nnnaa??，则数列{}na的通项公式为．
【变式】已知数列{}na各项均为正数，221111,(1)0nnnnananaaa???????，则数列{}na的
通项公式为．
3．1
1
,1,2
nnn
SnaSSn
?
??????
?
型
【例题】已知数列{}na中，0na?，其的前n项和满足12
nnnaSa??
，则na?．
【变式】（1）已知数列{}na的前n项和32nnS??，则na?．
（2）已知数列{}na中，11a?，且1n?时，222
nnnnSaSa??
，则na?．
4．1nnapaq???（,pq为常数）型：待定系数法
【例题】若数列{}na满足
1111,12nnaaa????
，则na?．
【变式】（2007全国）若数列{}na满足112,(21)(2),nnaaanN???????，则na?．
二．数列求和
1．分组求和
【例题】数列{}na是各项均为正数的等比数列，且
1212112()aaaa???
，
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2
34341132()aaaa???
．
（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；
（Ⅱ）设22log()n
nanbanN????
，求数列{}nb的前n项和．
【变式】
（1）（2014湖南）已知数列{}na的前n项和22
nnnS??
．
（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；
（Ⅱ）设2(1)nannnba???，求数列{}nb的前2n项和．
（2）（2012山东．20）在等差数列{}na中，345984,73aaaa????．
（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；
（Ⅱ）对任意mN??，将数列{}na中落入区间2(9,9)mm内的项的个数记为mb，求数列{}mb
的前m项和mS．
2．倒序相加法
【例题】设4()42x
xfx??
，则122001()()()200220022002fff????．
【变式】（1）（2014成都）已知函数32()232412fxxxx????，则12()()20132013ff??
2012()2013f??．
（2）已知222sin1sin2sin89S????，则S?．
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3．并项求和
【例题】设222222123499100nS???????，则nS?．
【变式】在数列{}na中，12211,3,nnnaaaaa??????，则2002S?．
4．错位相减
【例题】（2010四川）已知等差数列{}na中，386,4SS???．
（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；
（Ⅱ）设1(4)(0,)nnnbaqqnN??????，求数列{}nb的前n项和nS．
【变式】（1）（2014全国）已知{}na是递增的等差数列，24,aa是方程2560xx???的根．
（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；
（Ⅱ）求数列{}2n
na
的前n项和．
（2）已知数列{},{}nnab满足112,1(1),1nnnnnaaaaba???????．
（Ⅰ）求数列{}nb的通项公式；
（Ⅱ）求数列2{}n
nb
的前n项和nS．
5．裂项相消法
【例题】已知点1(1,)3是函数()(0,1)xfxaaa???的图象上一点，等比数列{}na的前n项
和为()fnc?，数列{}(0)nnbb?的首项为c，且前n项和nS满足11nnnnSSSS?????
(2)n?．
（Ⅰ）求数列{},{}nnab的通项公式；
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（Ⅱ）若数列
1
1{}
nnbb?
的前n项和为nT，问10002014
nT?
的最小n是多少？
【变式】
（1）（2012全国）已知等差数列{}na的前n项和为55,5,15nSaS??，则数列
1
1{}
nnaa?
的
前100项和为（）
100.101A99.101B99.100C101.100D
（2）已知数列{}na满足2
2(1)1(1)1nnan?????
，则前n项和nS?．
三．数列最值问题
【例题】等差数列{}na的首项为114a?，前n项和为nS，若35SS?，当nS最大时，
n?．
【变式】（1）设{}na为等差数列，nS为数列{}na的前n项和，已知71521,75,nSST???为
数列{}nSn的前n项和，则nT的最大值为．
（2）在等差数列{}na中，首项为120a?，前n项和为nS，且1015SS?，则nS的最大值为．
（3）已知数列2(1){},()3n
nnnnaanN????
，则数列{}na的最大值为．
（4）设119.21(1),21,2n
nbrqrq??????
，则数列21
2
log{}logn
n
bb?的最大项的值为．
四．数列的综合问题
【例题】已知点(,)nnnPxy都在直线:22lyx??上，1P为直线l与x轴的交点，数列{}na
是等差数列，公差为1()nN??．
（Ⅰ）求数列{},{}nnab的通项公式．
（Ⅱ）求证：
222121311112||||||5nPPPPPP????
．
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【变式】
（1）已知函数
2
1()(0)
14fxx
x
???
?
．
（Ⅰ）设
1111,()()nnaanNfa??????
，求na．
（Ⅱ）设
1222221,nnnnnSaaabSS???????
，是否存在最小正整数m，使得对nN??，
有25
nmb?
成立？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．
（2）设0a为常数，且1132()nnnaanN??????．
（Ⅰ）证明：对任意的1
011,[3(1)2](1)25nnnnnnnaa???????
．
（Ⅱ）假设对任意的1n?，有1nnaa??，求0a的取值范围．
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