《新课标高中数学必修⑤精讲精练》——精讲第一章解三角形?
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第?7?讲?§1.2?应用举例（四）¤学习目标：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题，掌握三角形面积问题的解法和三角形中简单恒等式的证明.?
¤知识要点：?1.?活用正弦定理的变式?2sin?bRB=，?2sin?aRA=，?2sin?cRC=，将边角关系式转化为只是含角的关系式.?或者用正弦定理的变式sin,sin,sin?
222?abc?ABC?RRR===，余弦定理的变式?222?cos,?2?bca?A?bc+-=×××将边角关系式转化为只含边的关系式.?2.?运用三角形面积公式?111?sinsinsin?
222?sabCbcAacB===等，解决一些有关三角形计算问题.?¤例题精讲：【例1】在△ABC中，求证：?
2222?cos2cos211?AB?abab-=-?.?证明：?2222?
22222222?cos2cos212sin12sin11sinsin?2()?ABABAB?abababab---=-=---由正弦定理得：?22?
22?sinsin?AB?ab=，∴?2222?cos2cos211?AB?abab-=-?.?【例2】在?ABCD中，角?,,?ABC?所对边分别为?,,?abc?，已知?23,2,?ac==?tan2?1?tan?Ac?Bb+=，求?
ABC?SD?.?解：由?tan2?1?tan?Ac?Bb+=及正弦定理，得?sin()2sin?cossinsin?ABC?ABB+=，即?1?cos?2?A=，
∴?60?A=°，再由?sinsin?ac?AC=，得?2sin601?sin?2?23?C°==，∵?ac>，∴?AC>，?30?C=°.?
∴?ABCD是直角三角形，∴?1?23?2?ABC?SacD==?.?【例3】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.?
（1）若三角形的面积S=?222?1?()?4?abc+-，求∠C的度数；（2）若b?2?=ac，且a?2?－c?2?=ac－bc，求∠A的大小及?sin?bB?c?的值.?
解：（1）由S=?222?1?()?4?abc+-，得?1?2?absinC=?1?2cos?4?abC?g?.?∴?tanC=1，得C=?π?4?.?（2）∵?b?2?=ac，又a?2?－c?2?=ac－bc，∴b?2?+c?2?－a?2?=bc.?
在△ABC中，由余弦定理得?cosA=?222?2?bca?bc+-?=?2?bc?bc?=?1?2?，∴∠A=60°.?在△ABC中，由面积公式得?1?2?bcsinA=?1?2?acsinB.?∴?bcsinA=b?
2?sinB，则?sin?bB?c?=sinA=?3?2?.?点评：解三角形时，需认真分析题中已知条件中边与角之间的关系，根据条件合理选用正弦定理或余弦定
理，结合三角形的面积公式来解决问题.?【例4】在△ABC中，?a、?b?c分别表示三个内角A、?B?C的对边.?如果?22?()sin()?abAB+-?=?22?()sin()?abAB-+?.?判别△ABC的类型.?
解：将sin()?AB-与sin()?AB+展开，得?22?()(sincoscossin)?abABAB+-?=?22?()(sincoscossin)?abABAB-+，去括号相乘，整理为?
22?2sincos2cossin?bABaAB=?.?将?2sin?bRB=，?2sin?aRA=代入上式，化简得?22?sinsincossincossin?BABAAB=，即sin2sin2?BA=?.?∴?22?AB=或22?ABp+=?.?∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.?
点评：利用正弦定理的变式?2sin?bRB=，?2sin?aRA=，?2sin?cRC=，将边转化为角的正弦，含边角的关系式变成只是角的函数关系，再用三角公式得到角之间的关系.?转化的关键是等式两侧的边的次数相同，否则2R不能消去.?此题还可以展开后利用正余弦定理，将角的正弦、余弦转化为边的关系，再进行代数变形得
到边的最简关系.?转化的关键是等式两侧的正弦的次数相同，
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