第39讲运动型问题┃考向互动探究┃探究一点动型问题探究二线动型问题探究三面动型问题┃考题实战演练┃DC运动型问题主要研究在几何图形运动中伴随着一定的数量关系、图形位置关系的“变”和“不变性”就运动对象而言有点动、线动和面动常常集代数与几何于一体有较强的综合性题例1[2014·襄阳]如图39－1在平面直角坐标系中矩形OCDE的三个顶点分别是C(3)，D(3，4)，E(0，4)．点A在DE上以A为顶点的抛物线过点C且对称轴x＝1交x轴于点B连接EC点P为动点t秒．(1)填空：点A的坐标为________抛物线所对应的函数解析式为__________________；(2)在图①中若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动同时点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动当一个点到达终点时另一个点随之停止运动．当t为何值时为直角三角形？
(3)在图②中若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动过点P作PF⊥AB交AC于点F过点F作FG⊥AD于点G交抛物线于Q，连接AQ当t为何值时的面积最大？最大值是多少？
图39－1【例题分层探究】(1)抛物线所对应的函数解析式有哪几种形式？(2)△PCQ为直角三角形有哪几种情况？当△PCQ为直角三角形时它与△COE在形状上有什么关系？(3)△ACQ可以分割为哪两个三角形？求线段FQ的长的关键是什么？
(1)抛物线所对应的函数解析式主要有三种形式：一般式y＝ax＋bx＋c(a≠0)顶点式y＝a(x－h)＋k(a≠0)交点式y＝(x－x)(x－x)．(2)当∠CPQ＝90或∠CQP＝90时为直角三角形．当△PCQ为直角三角形时与△COE相似．(3)△ACQ可以分割为△AFQ和△CFQ.求线段FQ的长的关键是求出点F与点Q的坐标．【解题方法点析】关于点运动的问题一般根据图形变化探索动点运动的特点和规律作出符合条件的草图．解这类题的关键是抓住动点运动过程中不变的量．
解：(1)点A(1)，
抛物线所对应的函数解析式为y＝－(x1)2＋4或y＝－x＋2x＋3.(2)依题意得OC＝3＝4＝＝＝5.当∠QPC＝90时＝＝＝解得t＝；当∠PQC＝90时＝＝＝解得t＝当t＝或t＝时为直角三角形．(3)∵A(1，4)，C(3，0)，
∴可求得直线AC所对应的函数解析式为y＝－2x＋6.(1，4－t)将y＝4－t代入y＝－2x＋6中得x＝1＋点Q的横坐标为1＋将x＝1＋y＝－(x－1)＋4中得y＝4－点Q的纵坐标为4－∴QF＝(4－)－(4－t)＝t－＝S＋S＝＋＝(AG＋DG)＝＝(t－)＝－(t－2)＋1.当t＝2时的面积最大最大值为1.例2[2013·泰州]如图39－2在平面直角坐标系xOy中直线y＝x－2与y轴相交于点A与反比例函数y＝在第一象限内的图象相B(m，2)．(1)求该反比例函数的解析式；(2)将直线y＝x－2向上平移后与反比例函数在第一象限内的图象相交于点C且△ABC的面积为18求平移后的直线所对应的函数解析式．
图39－2
【例题分层探究】(1)利用点B是直线y＝x－2与反比例函数图象的交点怎样求m的值？此时点B的坐标是多少？根据点B的坐标及点B在反比例函数图象上如何求反比例函数解析式？(2)△ABC的面积如何表示？根据△ABC的面积为18怎样求点C的坐标？(3)利用(2)中求得的点C的坐标怎样求平移后的直线所对应的函数解析式？
(1)将B点的纵坐标代入一次函数解析式可求得m＝4(4，2)．将B点坐标代入反比例函数解析式可求得y＝(2)△ABC的面积＝长方形的面积－3个直角三角形的面积＝18设C点坐标为将△ABC的面积用含x的代数式表示出来求得x的值从而得C点坐标．(3)由于平移前后两条直线平行故它们的斜率k相同且都为1故可设平移后直线所对应的函数解析式为y＝x＋b点C在平移后的直线上所以把C点坐标代入即可求得．【解题方法点析】解决此类题的关键是根据线运动的变化研究图形的变化．由图形变.
解：(1)∵点B(m)在直线y＝x－2上－2＝2解得m＝4点B的坐标为(4).
∵点B(4)在反比例函数y＝的图象上8，
∴反比例函数的解析式为y＝(2)设平移后的直线所对应的函数解析式为y＝x＋b点C的坐标为的面积为18－－(4－x)－＝18化简得x＋7x－8＝0解得x＝－8＝1.＞0＝1点C的坐标为(1)．把点C的坐标代入y＝x＋b得8＝1＋b＝7平移后的直线所对应的函数解析式为y＝x＋7.例3如图39－3①在中＝90＝AC＝，另有一梯形DEFG(GF∥DE＝EF)的底边DE与BC重合两腰分别落在AB上且G分别是AB的中点．操作：固定△ABC将梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右D与点C重合时停止．设运动时间为秒运动后的梯形为DEF′G′(如图②)．(1)探究1：在运动过程中四边形CEF′F能否是菱形？若能请求出此时x的值；若不能请说明理由．(2)探究2：设在运动过程中△ABC与梯形DEF′G′重叠部分的面积为y求y与x之间的函数解析式．
图39－3
【例题分层探究】(1)在运动中四边形CEF′F为平行四边形若使其为菱形则CE和CF之间应满足怎样的数量关系？如何求运动时间？(2)四边形CEF′F在运动过程中当点G′与F重合前重叠部分是什么图形？如何求其面积？(3)当点G′与F重合及重合后重叠部分的图形有什么样的特征？如何求其面积？
(1)CE＝CF由CF＝可求CE的长度而CE为移动的距离由移动的速度为每秒1个单位故可求运动时间．(2)重叠的部分为梯形过点G作GM⊥BC于点M先求GM进而可得梯形DEFG的面积和平行四边形BDG′G的面积所以重叠部分的面积为梯形DEFG的面积－平行四边形BDG′G的面积．(3)重叠部分为等腰直角三角形设FC与DG′交于点P过点P作PQ⊥DC于点Q可求得PQ的长故利用三角形面积公式可求得重叠部分的面积．【解题方法点析】解决与面有关的运动问题通常都是将动态问题转化为静态问题研究由静态状况反映动态过程的一般情况解这类题关键是抓住面运动的变化过程以及变化的性质．
解：(1)能．在中＝AC＝4＝AC＝4.由于FC∥EF′四边形CEF′F是平行四边形．当CE＝CF＝＝2时四边形CEF′F为菱形此时可求得x＝2.故当x＝2时四边形CEF′F为菱形．(2)分两种情况：当0≤x＜2时如图过点G作GM⊥BC于点M.＝AC＝90＝4为AB的中点＝分别为AB的中点＝＝2梯形DEFG＝(2＋4)×＝6.＝＝重叠部分的面积y＝6－；
②当2时设FC与DG′交于点P则＝∠PCD＝45＝90PC＝PD.过点P作PQ⊥DC于点Q则PQ＝DQ＝QC＝(4－x).重叠部分的面积＝(4－x)×(4－x)＝(4－x)＝－x＋8综上当0≤x<2y＝6－；当2时＝－2＋8.1．[2014·兰州]如图39－4在平面直角坐标系中四边形OBCD是边长为4的BD的直线l从点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动运动到直线l与正方形没有交点为止设直线l扫过正方形OBCD的面积为S直线l运动的时间为t(秒)．下列能反映S与t之间函数关系图象的是()
图39－4图39－5
2．如图39－6把放在平面直角坐标系内其中∠CAB＝90＝5点A的坐标分别为(1)，(4，0)，将△ABC沿x轴向右平移当点C落在直线＝－6上时线段BC扫过的面积为()
图39－6．．
[解析]∵点A的坐标分别为(1)，(4，0)，
∴AB＝3.＝90＝5＝4点C的坐标为(1)．当点C落在y＝2x－6上时令y＝4得4＝2x－6解得x＝5平移的距离为5－1＝4线段BC扫过的面积为4×4＝16.故选
3．如图39－7正方形ABCD与等边AEF的顶点A重合将△AEF绕其顶点A旋转在旋转过程中当BE＝DF时的大小是________．
图39－7[解析]△AEF绕其顶点A旋转后相对于正方形ABCD的位置应该分两种情况：一是△AEF在正方形ABCD内部(如图①)二是△AEF在正方形ABCD外部(如图②)然后可以根据正多边形的性质和三角形全等的知识解答．四边形ABCD是正方形是等边三角AB＝AD＝AFBAD＝90＝60＝DF＝∠DAF.下面分两种情况：第一种情况当△AEF在正方形ABCD内部时(如图①)＝∠DAF＝(∠BAD－∠EAF)＝(90－60)＝15
第二种情况当△AEF在正方形ABCD外部时(如图②)＝∠DAF＝∠DAE＝(360－∠BAD－∠EAF)＝(360－90－60)＝105＝∠BAF＋∠EAF＝105＋60＝165故答案为15或1654．[2014·陕西]如图39－8的半径是2直线l与⊙O相交于A两点是⊙O上的两个动点且在直线l的异侧若∠AMB＝45则四边形MANB面积的最大值是________．
图39－84
5．[2014·衡阳]如图39－9已知直线AB分别交x轴轴于点A(－4)，B(0，3)，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿直线AB向点B移动同时将直线y＝以每秒0.6个单位的速度向上平移分别交AO于点C设运动时间为t秒(1＜t＜5)．(1)求证：在运动过程中四边形ACDP总是平行四边形；(2)当t取何值时四边形ACDP为菱形？且指出此时以点D为圆心长为半径的圆与直线AB的位置关系并说明理由．
图39－9解：(1)证明：设直线AB所对应y＝kx＋b将A(－4)，B(0，3)代入得解得直线AB所对应的函数解析式为y＝＋3直线AB平行于直线CD.直线y＝以每秒0.6个单位的速度向上平移＝0.6t＝0.8t＝t＝AP四边形ACDP是平行四边形．
(2)要使四边形ACDP为菱形必须AC＝AP＝t即4－0.8t＝t解得t＝当t＝时四边形ACDP为菱形．过点D作DQ⊥AB于点Q则∠DQP＝∠COD＝90四边形ACDP为菱形＝∠PAC＝∠DCO.又∵DP＝DC(AAS)，
∴DQ＝DO以点D为圆心长为半径的圆与直线AB的位置关系为相切．
6．[2014·宿迁]如图39－10在直角梯形ABCD中＝90＝8＝＝5动点P从点B开始沿折线BC—CD—DA以1的速度运动到点A.设点P运动的时间为t()，△PAB的面积为(cm2)．(1)当t＝2时求S的值；(2)当点P在边DA上运动时求S关于t的函数解析式；(3)当S＝12时求t的值．
图39－10
解：(1)当t＝2时＝＝8.(2)过点D作DH⊥AB于点H.∵AB＝8＝4＝5＝4＝3＝5.当点P在边DA上运动时过点P作PK⊥AB于点K＝即＝＝(14－t)＝8×(14－t)＝－(9≤t≤14)；
(3)当S＝12时当点P在边BC上运动时×8t＝＝3；当点P在边AD上运动时－＝12＝综上当S＝12时的值为3或 |
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