第38讲 开放探究题

第38讲开放探究题┃考向互动探究┃探究一条件开放探究探究二结论开放探究探究三存在性探究┃考题实战演练┃C开放探究题大致可分为条件开放探究一般通过观察、联想、分析、比较、归纳、概括来发现解题条件或结论或结论成立的条件．例1[2014·巴中]如图38－1在四边形ABCD中点H是边BC的中点作射线AH在线AH及其延长线上分别取点E连接BE(1)请你添加一个条件使得△BEH≌△CFH你添加的条件是________并证明；(2)在问题(1)中当BH与EH满足什么关系时四边形BFCE是矩形？请说明理由．

图38－1

【例题分层探究】(1)要判定△BHE≌△CFH在这两个三角形中已知哪些条件？根据边、角关系判定两个三角形全等的定理有哪些？(2)当BC与EF有何关系时四边形BFCE是矩形？

(1)在△BHE与△CHF中已知BH＝CH＝∠CHF.根据边、角关系判定两个三角形全等的定理有(2)当BC与EF相等且互相平分时四边形BFCE是矩形．【解题方法点析】条件开放型探究题是指结论给定条件未知或不全需探求与结论相对应的条件．解这种开放型问题的一般思路：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件即从题目的结论出发追本溯源逐步探求．

解：(1)添加条件：BE∥CF(答案不唯一)

证明：如图＝∠2.∵点H是边BC的中点＝CH.又∵∠3＝∠4(2)当BH＝EH时四边形BFCE是矩形．理由如下：连接BF＝CH＝FH四边形BFCE是平行四边形．＝EH＝BC四边形BFCE是矩形．

例2如图38－2梯形ABCD内接于⊙O与BD相交于点E在不添加任何辅助线的情况下(1)图中共有几对全等三角形？请把它们一一写出来并选择其中的一对全等三角形进行证明；(2)若BD平分∠ADC请找出图中与△ABE相似的所有三角形．

图38－2

【例题分层探究】(1)本题图中哪些角相等？(2)利用这些相等的角能证明哪几对三角形全等？(3)若BD平分∠ADC利用两角对应相等的两个三角形相似你在图中能找到哪几个三角形与△ABE相似？

(1)∠BAC＝∠BDC＝∠ACD＝∠CAD＝∠ADB＝∠CBD＝∠ADC＝∠DCB＝∠CED＝∠BEC.(2)△ADB≌△DAC，△ABE≌△DCE，△ABC≌△DCB.

(3)图中与△ABE相似的三角形有△DCE【解题方法点析】结论开放型探究题的解题思路：充分利用已知条件或图形特征进行猜想、类比、联想、归纳透彻分析出给定条件下可能存在的结论然后经过论证做出取舍．

解：(1)图中共有三对全等三角形：①△ADB≌△DAC选择①△ADB≌△DAC证明：在⊙O中＝∠DCA＝∠BDA.＝∠CAD＝∠BDA.又∵AD＝DA(AAS)．(2)图中与△ABE相似的三角形有△DCE例3如图38－3二次函数y＝－x＋c的图象与x轴分别交于A两点顶点M关于x轴的对称点是点M′.(1)若A(－40)，求二次函数的解析式．(2)在(1)的条件下求四边形AMBM′的面积．(3)是否存在抛物线y＝－x＋c使得四边形AMBM′为正方形？若存在请求出此抛物线所对应的函数解析式；若不存在请说明理由．

图38－3【例题分层探究】(1)在问题(1)的条件下利用对称性如何求四边形AMBM′的面积？(2)若抛物线与x轴有两个交点则c应满足什么条件？(3)若存在四边形AMBM′为正方形对角线AB和MM′之间有什么关系？如何求AB和MM′的长度？

(1)把二次函数的解析式整理成顶点式根据对称性求出点B的坐标求出AB的长．根据顶点坐标求出点M到x轴的距离然后求出△ABM的面积根据对称性可得S四边形AMBM′＝2S然后计算即可得解．(2)∵抛物线与x轴有两个交点＝b－4ac＝(－1)－4×＞0解得c＜(3)根据正方形的性质可知对角线AB和MM′相等且互相垂直平分．令y＝0得到关于x的一元二次方程利用根与系数的关系可求出AB的长度根据抛物线的解析式求出顶点M的纵坐标进而根据对称性可求出MM′的长度．【解题方法点析】解存在性问题有两种方法：①直接通过推理说明假设的矛盾性由此得出不存在．②通过假设存在→推理论证→得出结论若得出结论合理则可以作出存在判断；若结论矛盾则作出不存在判断.,

解：(1)∵A(－4)在二y＝－x＋c的图象上×(－4)－(－4)＋c＝0解得c＝－12.二次函数的解析式为y＝－x－12.(2)∵y＝－x－12＝(x－＋)－＝(x－1)－顶点M的坐标为点A的坐标为(－4)，对称轴为直线x＝1点B的坐标为(6)，

∴AB＝6－(－4)＝6＋4＝10＝＝顶点M关于x轴的对称点是点M′四边形AMBM′＝2S＝＝125.

(3)存在．在y＝－x＋c中令y＝0则－x＋c＝0设点A的坐标分别为(x1)，(x2，0)，

则x＋x＝－＝2＝＝2c＝＋＝xx1

＝＝＝点M的纵坐标为＝

∵顶点M关于x轴的对称点是点M′四边形AMBM′为正方形＝2×整理得4c4c－3＝0解得c＝＝－抛物线与x轴有两个交点＝b－4ac＝(－1)－4×＞0解得c＜的值为－存在抛物线y＝－x－使得四边形AMBM′为正方形．1．[2013·临沂]如图38－4在四边形ABCD中垂直平分BD垂足为E下列结论不一定成立的是()

图38－4＝AD平分∠BCD＝BD△BEC≌△DEC

[解析]因为AC垂直平分BD由对称可知△BEC≌△DEC所以AB＝AD,平分∠BCD.故选2．[2013·钦州]请写出一个图象经过第一、三象限的正比例函数的解析式______________．y＝x(答案不唯一)

[解析]设此正比例函数的解析式为y＝kx(k≠0)此正比例函数的图象经过第一、三象限符合条件的正比例函数解析式可以为y＝x(答案不唯一)．3．存在x与y是x的函数该函数同时满足两个条件：①图象经过点(1)；②当x＞0时随x的增大而减小．这个函数的解析式是___________．本题答案不唯一如y＝

[解析]先确定函数类型再求解析式．本题中的函数可以为一次函数、反比例函数也可以为二次函数．如为反比例函数设反比例函数的解析式为y＝(k>0)把(1)代入得k＝1所以函数解析式为y＝

4．如图38－5分别是△ABC的边AB上的点连接DE要使△ADE∽△ACB还需添加一个条件____________(只需写一个)．

图38－5答案不唯一如∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或AD∶AC＝AE∶AB或AD·AB＝AE·AC等[解析]∵∠A是公共角当∠ADE＝C或∠AED＝∠B时(有两角对应相等的两个三角形相似)当AD∶AC＝AE∶AB或AD·AB＝AE·AC时(两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似)．

5．[2013·杭州]如图38－6四边形ABCD是矩形用直尺和圆规作出∠A的平分线与BC边的垂直平分线的交点Q(不写作法保留作图痕迹)连接QD在新图形中你发现了什么？请写出一条．

图38－6解：图略．发现：QD＝AQ或者∠QAD＝∠QDA等．

6.[2014·仙桃]如图38－7四边形ABCD是平行四边形为对角线AC上两点连接ED给出以下结论：①BE∥DF；②BE＝DF；③AE＝CF.请你从中选取一个作条件使∠1＝∠2成立并给出证明．

图38－7

解：方法一：选取条件①BE∥DF.证明：∵BE∥DF＝∠DFA＝∠DFC.四边ABCD是平行四边形＝CD＝∠DCF.在△ABE与△CDF中

∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴BE＝DF四边形BFDE是平行四边形＝∠2.

方法二：选取条件③AE＝CF.证明：∵AE＝CF＝CE.四边形ABCD是平行四边形＝CD＝∠DCE.在△ABF与△CDE中

∴△ABF≌△CDE(SAS)，∴∠1＝∠2.



7．[2014·烟台]如图38－8点A(m)，B(n，1)在反比例函数图象上轴于点D轴于点C＝5.(1)求m的值并写出反比例函数的解析式．(2)连接AB在线段DC上是否存在一E，使得△ABE的面积等于5？若存在求出点E的坐标；若不存在请说明理由．

图38－8解：(1)由题意得解得的值分别为1A(1，6)，B(6，1)．设反比例函数的解析式为y＝将A(1)代入y＝得k＝xy＝1×6＝6＝

(2)存在．设E(x)，则DE＝x－1＝6－x.轴轴＝∠BCE＝90连接AE则S＝S梯形ABCD－S－S＝(BC＋AD)·DC－－＝(1＋6)×5－(x－1)－(6－x)×1＝－＝5＝5点E的坐标为(5)．8．[2014·泰安]如图38－9二次函数y＝ax＋bx＋c的图象经1，4)，且与直线y＝－＋1相交于A两点点A在y轴上过点B作BC⊥x轴垂足为C(－3)．(1)求二次函数的解析式；(2)点N是二次函数图象上一点(点N在AB上方)过点N作NP⊥x轴垂足为P交AB于点M求MN的最大值；(3)在(2)的条件下点N在何位置时与NC互相垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．

图38－9解：(1)由题设可知A(0)，B(－3)，

根据题意得解得二次函数的解析式是y＝－－＋1.

(2)设N(x－－＋1)则点M的坐标分别是(x－＋1)(x，0)．＝PN－PM＝－－＋1－(－＋1)＝－－＝－(x＋)＋当x＝－时的最大值为(3)连接CM当BM与NC互相垂直平分时

四边形BCMN是菱形．由于BC∥MN所以MN＝BC且BC＝MC即－－＝且(－＋1)＋(x＋3)＝解得x＝－1.故当点N的坐标为(－1)时与NC互相垂直平分．