第34讲函数问题┃考向互动探究┃探究一函数的图象与性质综合探究二函数在实际生活中的应用探究三函数与几何综合┃考题实战演练┃CCC2在中考中有关函数问题主要考查函数的图象和性质及函数的应用而函数与几何知识的综合应用是其中的难点一般通过几何图形的两个变量之间的关系建立函数解析式进一步研究几何的性质建立函数与几何的有机联系．常涉及数形结合思想、方程思想及建模思想．例1[2014·南充]二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象如图34－1所示下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③当m≠1时＋b＞am＋bm；④a－b＋c＞0；⑤若ax＋bx＝ax＋bx且xx2，则＋＝2.其中正确的有()
图34－1
．【例题分层探究】(1)如何确定a以及c的符号？由以上结论判断abc与＋与0的大小关系．(2)分别求当x＝1＝m(m≠)时的函数值由函数图象知这两个值哪一个更大？(3)当x＝－1时函数值是多少？根据抛物线的对称性表示这一对数值的点大约位于哪一象限？(4)平行于x轴的直线交抛物线于两点这两点的纵坐标有怎样的数量关系？这两点的横坐标之和是多少？
(1)由抛物线的开口向下知a<0；由抛物线交y轴于正半轴知c>0；由抛物线的对称轴为x＝－＝1知b＝－2a所以b>0＋b＝0.(2)y(1)＝a＋b＋c(m)＝am＋bm＋c由当x＝1时函数有最大值得y(1)>y(m)即a＋b＋c>am＋bm＋c.(3)当x＝－1时(－1)＝a－b＋c结合抛物线的对称性可知点(－1－b＋c)在第三象限．(4)平行于x轴的直线交抛物线于两点这两点的纵坐标相等这两点的横坐标之和是2.
【解题方法点析】在解答一次函数、二次函数与反比例函数图象问题时应根据图象的形状、位置、对称性、与坐标轴的交点等方面进行推断．此外还要结合图象与函数解析式注意一些特殊自变量或函数值的应用．在反比例函数图象上还要注意k与一些图形面积的关系．
[答案]D[解析]由抛物线的开口向下知a<0；由抛物线交y轴于正半轴知c>0；由抛物线的对称轴为x＝－＝1知b＝－2a所以b>0所以abc<0＋b＝0.故①错误正确．(1)＝a＋b＋c(m)＝am＋bm＋c由当x＝1时函数有最大值得y(1)>y(m)即a＋b＋c>am＋bm＋c由此得a＋b>am＋bm故③正确．当x＝－1时(－1)＝a－b＋c结合抛物线的对称性可知点(－1－b＋c)在第三象限所以a－b＋c<0故④错误．当ax＋bx＝ax＋bx时即ax＋bx＋c＝ax＋＋c所以y＝y此时过点(x)，(x2，y2)的直线平行于x轴且这两点关于直线x＝1对称．当x时由对称性可得x＋x＝2.故⑤正确．变式题[2013·达州]如图34－2已知反比例函数＝的图象与一次函数y＝k＋m的图象交于A(－1)，B两点连接AO.(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)设点C在y轴上且与点A构成等腰三角形请直接写出点C的坐标．
图34－2
解：(1)∵函数y＝的图象过点＝3xy＝3×(－3)＝－3反比例函数的解析式为y＝－＝－＝1(－1)．解得一次函数的解析式为y＝－3x－2.(2)C(0，)或(0－)或(0)或(0)．
例2[2013·临沂]某工厂投入生产一种机器的总成本为2000万元．当该机器生产数量至少为10台但不超过70台时每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系函数y与自变量x的部分对应值如下表：
(单位：台) 10 20 30 y(单位：万元/台) 60 55 50(1)求y与x之间的函数式并写出自变量x的取值范围；(2)求该机器的生产数量；(3)市场调查发现这种机器每月销售量z(台)与售价a(万元/台)之间满足如图34－3所示的函数关系．该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润(注：利润＝售价－成本)．【例题分层探究】(1)读题、读表格―→量与量之间的关系―→列出函数解析式；(2)读题、读图―→找出售价与利润的关系―→列出函数解析式．
【解题方法点析】用函数解决实际问题一般先分析问题确定函数关系然后利用待定系数法求函数解析式再利用函数解析式或函数的性质解决实际问题．在实际问题中利用一次函数或二次函数的递增(或递减)性进行最优化设计方案时确定自变量的取值范围是关键．
解：(1)设y与x之间的函数解y＝kx＋b(k≠0)根据题意得解得＝－＋65.当x＝30时＝－＋65＝50符合题意与x之间的函数解析式为y＝－＋65(10≤x≤70)．
(2)根据题意得x(－＋65)＝2000解得x＝50＝80.＝50.答：该机器的生产数量为50台．(3)设销售数量z与售价a之间的函数解析式为z＝k＋b根据题意得解得＝－a＋90.当z＝25a＝65.则该厂第一个月销售这种机器的利润为(65－)＝625(万元)．答：该厂第一个月销售这种机器的利润为625万元．例3[2014·宁波]如图34－4点A分别在x轴、y轴上点D在第一象限内轴于点C＝CD＝2＝DA＝反比例函数y＝(k＞0)的图象过CD的中点E.(1)求证：△AOB≌△DCA；(2)求k的值；(3)△BFG和△DCA关于某点成中心对称其中点F在y轴上试判断点G是否在反比例函数的图象上并
图34－4【例题分层探究】(1)由题目中的已知条件可根据哪个判定定理来证明△AOB≌△DCA?(2)利用什么方法求线段AC的长？由此可得点E的横坐标是多少？(3)成中心对称的两个图形对应边在数量上有什么关系？
(1)由题目中的已知条件可由“来证明△AOB≌△DCA.(2)在中利用勾股定理可求出线段AC的长．由此可得点E的横坐标是3.(3)成中心对称的两个图形对应边相等．
【解题方法点析】解答与几何图形相结合的函数问题时关键是将图形中线段的长与点的坐标进行相互转化而转化的依据是找在具体问题中我们常用勾股定理、相似形、全等形、四边形等知识来求某点到坐标轴的距离．,
解：(1)证明：∵点A分别x轴、y轴上轴于点C＝∠DCA＝90＝CD＝2＝DA＝(2)∵∠DCA＝90＝＝2＝＝＝1＝OA＋AC＝3.的中点是E＝DE＝1(3，1)，∴k＝3.(3)点G在反比例函数的图象上理由：和△DCA关于某点成中BF＝DC＝2＝AC＝1.点F在y轴上＝OB＋BF＝3(1，3)．由(2)知y＝把x＝1代入得y＝3点G在反比例函数的图象上．
1．[2013·巴中]在物理实验课上小明用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中然后34－6中能反映弹簧秤的读数y(单位：)与铁块被提起的高度x(单位：)之间的函数关系的大致图象是()
图34－6
图34－5[解析]小明用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中然后匀速向上提起直至铁块完全露出水面一定高度则露出水面前读数y不变露出水面后y逐渐增大离开水面后y不变．故选2．[2014·重庆卷]如图34－7正方形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上反比例函数y＝(k≠0)在第一象限的图象经过顶点A(m)和CD边上的点E(n)，过点E的直线l交x轴于点F交y轴于点G(0－2)则点F的坐标()
图34－7(，0)B．()C．(，0)D．()
3．[2013·泰安]在同一直角坐标系内一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax＋8x＋b的图象可能是()
图34－8[解析]当x＝0时两个函数的函数值y＝b所以两个函数图象与y轴相交于同一点故选项错误；由选项可知抛物线开口向上所以a＞0所以一次函数y＝ax＋b的图象经过第一、三象限所以选项错误选项正确．故选4．[2013·广州]一次函数y＝(m＋2)x＋1若y随x的增大而增大则m的取值范围是________．m>－2
[解析]由题意得m＋2＞0解这个不等式得m>－2.[解析]∵函数y＝与y＝x－2的图象相交＝x－2解得x＝1＋＝1－由于交点的横坐标分别为a＝(1＋)(1－)＝－1＋b＝1＋＋1－＝2.＋＝＝＝－2.
5．[2013·德州]函数y＝与y＝x－2的图象的交点的横坐标分别为a则＋的值为________．－2
6．[2014·丽水]如图34－9点E在函数y＝的图象上直线EF分别与x轴轴交于点A且BE∶BF＝1∶m.过点E作轴于点P已知△OEP的面积为1则k的值是__的面积是________(用含m的式子表示)．
图34－9
7.[2013·重庆]如图34－10平面直角坐标系中已知直线y＝x上一点P(1)，C为y轴上一点连接PC线段PC绕点P顺时针旋转90至线段PD过点D作直线AB⊥x轴垂足为B直线AB与直线y＝x交于点A且BD＝2AD连接CD直线CD与直线y＝x交于点Q则点Q的坐标为________．
图34－10(，)
[解析]设OB＝3m过点P作PE⊥y轴于点E交AB于点F.点A在直线y＝x上且AB⊥x轴于点B＝OB＝3m.∵BD＝2AD＝2m.＝PD＝90可证△CPE≌△PDF∴DF＝PE＝PF.又由点P(1)可得PE＝OE＝1＝1.又四边形OBFE是矩形＝OE＝1＝2＝1＝3＝2＝2点C(0)，点D(3)．由点C(0)，D(3，2)可以求得直线CD的函数解析式为y＝－＋3.由点Q是直线CD和直线y＝x的交点可以求得(，)．
8．给出下列命题及函数y＝x＝x和y＝的图象(如图34－11)．如果那么01；如果那么－1a，那么a<－1.其中正确的命题为________(只填序号)．
图34－11[解析]本题考查数形结合思想、数学直觉等难度中等．由函数图象可以看出函数图象在第一象限内的交点坐标为(1)，在第三象限内的交点坐标为(－1－1)．当x<－1时>x；当－1x>x2；当x>1时.故①④正确．9．[2014·湖州]如图34－12已知在平面直角坐标系xOy中是坐标原点点A(2)在反比例函数y＝的图象上过点A的直线y＝＋交x轴于点B.(1)求k和b的值；(2)求△OAB的面积．
图34－12解：(1)把A(25)分别代入y＝和y＝x＋b得＝5＋b＝5解得k＝10＝3.(2)由(1)得直线AB的函数解析式为y＝x＋3点B的坐标为(－3)，
∴OB＝3.过点A作AC⊥x轴于点C点A的坐标为(2)，
∴AC＝5＝＝＝
10．[2014·南京]从甲地到乙地先是一段平路然后是一段上坡路．小明骑车从甲地出发到达乙地后立即原路返回甲地途中休息了一段时间．假设小明骑车在平路、上坡、下坡时分别保持匀速前进．已知小明骑车上坡的速度比平路上的速度每小时少5下坡的速度比平路上的速度每小时多5设小明出发x后到达离甲地y的地方图34－13中的折线OABCDE表示y与x之间的函数关系．(1)小明骑车在平路上的速度为________他途中休息了________；(2)求线段AB所表示的y与x之间的函数解析式；(3)如果小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15那么该地点离甲地多远？
图34－13解：(1150.1(2)因为小明骑车在平路上的速度为15所以小明骑车上坡的速度为10下坡的速度为20由图象可知小明骑车上坡所用的时间是＝0.2()，下坡所用的时间是＝0.1()．所以B两点的坐标分别是(0.5)，(0.6，4.5)．当x＝0.3时＝4.5.所以线段AB所表示的y与x之间的函数解析式为＝4.5＋10(x－0.3)即y＝10x＋1.5(0.3≤x≤0.5)；当x＝0.5时＝6.5所以线段BC所表示的y与x之间的函数解析式为y＝6.5－20(x－0.5)即y＝－20x＋16.5(0.5≤x≤0.6)．
(3)小明两次经过图中某一地点的时间间隔为0.15根据题意这个地点只能在坡路上．设小明第一次经过该地点的时间为t则第二次经过该地点的时间为(t＋0.15)根据题意得10t＋1.5＝－20(t＋0.15)＋16.5.解得t＝0.4.y＝10×0.4＋1.5＝5.5.答：该地点离甲地5.511．[2014·随州]楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车当月该型号汽车的进价为30万元/辆．若当月销售量超过5辆时每多售出辆所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查月销售量不会突破30台．(1)设当月该型号汽车的销售量为x辆(x≤30且x为正整数)实际进价为y万/辆求y与x之间的函数解析式；(2)已知该型号汽车的销售价为32万元/辆公司计划当月销售利润为25万元那么该月需售出多少辆汽车？(注：销售利润＝销售价－进价)解：(1)当x≤5时＝30当5
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