9第33讲几何推理题┃考向互动探究┃探究一几何计算题探究二几何证明题┃考题实战演练┃CDDABD几何推理题是中考必考题型考查知识全面综合性强它把几何知识与代数知识有机结合起来渗透数形结合思想重在考查分析问题的能力、逻辑思维推理能力．例1[2013·湘西]如图33－1中＝90平分∠CAB于E若AC＝6＝8＝3.(1)求DE的长；(2)求△ADB的面积．
【例题分层探究】(1)由角平分线和垂直关系如何求线段DE的长度？(2)求△ADB的面积的关键是什么？
(1)由∠C＝90平分∠CAB可知＝CD所以DE＝CD＝3.(2)已知AC和BC的长度及∠C＝90利用勾股定理可求AB的长再利用三角形面积公式及(1)中DE的长度可求△ADB的面积．
【解题方法点析】
解：(1)在中＝90又AD平分∠CAB＝CD.又CD＝3＝3.(2)在中＝90＝6＝8＝＝＝10＝＝＝15.例2[2014·福州]如图33－2在△ABC中＝45＝60＝3点D为BA延长线上的一点且∠D＝∠ACB为△ACD的外接圆．(1)求BC的长；(2)求⊙O的半径．
图33－2
【例题分层探究】(1)解直角三角形时必须知道什么条件？(2)在△ABC中已知∠B＝45＝60＝3作怎样的辅助线可用解直角三角形的方法求得线段BC的长？(3)用解直角三角形的方法可求得线段ACAC和圆的半径的直角三角形？
(1)解直角三角形时必须知道这个直角三角形的两条边长或者一个锐角的度数和一条边长．(2)在△ABC中作BC边上的高线BC边上两条线段的长即可求得线段BC的长．(3)作过点A的直径根据“直径所对的圆周角是直角”可构造包括线段AC和圆的半径的直角三角形．【解题方法点析】
解：(1)如图过点A作AE⊥BC垂足为E.
在中＝45＝3＝BE＝3.在中＝60＝3＝＝＝＝BE＋CE＝3＋(2)作直径AF连接CF则∠ACF＝90在中＝60＝3＝＝＝2在中＝∠D＝∠ACB＝60＝60＝＝＝＝4＝＝2即⊙O的半径为2.
例3[2014·陕西]如图33－3在中＝90点D在边AB上使DB＝BC过点D作EF⊥AC分别交AC于点E、CB的延长线于点F.求证：AB＝BF.
图33－3
【例题分层探究】(1)∠A与∠C与∠C在数量上有什么关系？由此得到∠A与∠F有什么数量关系？(2)线段AB和线段BF分别
(1)∠A与∠C互余与∠C互余由此可得∠A＝∠F.(2)线段AB和线段BF分别在、中在这两个三角形中＝∠F＝∠FBD＝BC.
【解题方法点析】证两条线段相等时可将这两条线段放在一对全等三角形、一个平行四边形、圆或线段垂直平分线、角平分线等数学模型中来证明．其中证两个三角形全等是最常用的方法．本题将线段AB分别放在△ABC和△FBD中再证这两个三角形全等即可．
证明：∵EF⊥AC＋∠C＝90＝90＋∠C＝90＝∠F.＝DB＝∠FBD＝BF.例4[2013·鄂州]已知：如图33－4为⊙O的直径交⊙O于点D是AC的ED与AB的延长线相交于点F.求证：(1)DE为⊙O的切线；(2)AB∶AC＝BF∶DF.
图33－4【例(1)DE与⊙O有什么样的位置关系？(2)若连接OD如何证明△ABD∽△CAD及△FAD∽(3)根据△ABD∽△CAD及△FAD∽△FDB能推出AB∶AC＝BF∶DF吗？为什么？
(1)连接OD求出∠CDA＝∠BDA＝90推出∠1＝∠4＝∠3进而得到∠4＋∠3＝∠1＋∠2＝90根据切线的判定可知DE为⊙O的切线．(2)由∠3＋∠DBA＝903＋∠4＝90根据同角的余角相等可得∠4＝∠DBA又由∠CDA＝∠BDA＝90根据两角对应相等的两个三角形相似故可证得△ABD∽△CAD；由OD＝OB根据等边对等角可知∠BDO＝∠DBO又由∠FDB＋∠BDO＝90及∠DBO＋∠3＝90根据等角的余角相等可得∠3＝∠FDB根据两角对应相等的两个三角形相似故可证得△FAD∽△FDB.(3)根据△ABD∽△CAD推出＝由△FADFDB，推出＝即可得出AB∶AC＝BF∶DF.【解题方法点析】
证明：(1)连接OD
∵AB为⊙O的直径＝∠BDA＝90＝EA＝EA＝∠4.＝OA＝∠3.＋∠3＝90＋∠2＝90即∠EDO＝90是半径为⊙O的切线．(2)∵∠3＋∠DBA＝90＋∠4＝90＝∠DBA.＝∠BDA＝90＝＋∠BDO＝90＋∠3＝90＝OB＝∠DBO＝∠FDB.＝∠F＝＝即AB∶AC＝BF∶DF.1．如图33－5在△ABC中＝AC＝13＝10点D为BC的中点垂足为E则DE等于()
图33－5B.C.D.
[解析]连接AD＝AC是BC的中点＝CD＝＝5＝＝12.的面积是△ABD面积的2倍AB·DE＝＝＝故选
2．[2013·自贡]如图33－6在平行四边形ABCD中＝6＝9的平分线交BC于点E交DC的延长线于点F于点G＝4则△EFC的周长为()
图33－6．．9．[解析]∵在ABCD中＝CD＝6＝BC＝9的平分线交BC于点E＝∠DAF.＝∠F＝∠DAF＝∠AEB＝BE＝6＝DF＝9和△ABE都是等腰三角形＝FC＝9－6＝3.在△ABG中＝6＝4＝＝2＝2AG＝4的周长等于16.相似比为1∶2的周长为8.
3．[2013·嘉兴]如图33－7所示的半径OD⊥弦AB于点C连接AO并延长交⊙O于点E连接EC.若AB＝8＝2则EC的长为()
图33－7．．
[解析]∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C＝8＝＝4.设⊙O的半径为r则OC＝r－2在中＝AC＋OC即r＝4＋(r－2)r＝5＝2r＝10.连接BE是⊙O的直径＝90在中＝10＝8＝＝＝6.在中＝6＝4＝＝＝2
4．[2014·遂宁]如图33－8是△BAC中∠BAC的平分线于点E＝7＝2＝4则AC的长是()
图33－85．[2014·随州]如图33－9要测量点B到河岸AD的距离在点A测得∠BAD＝30在点C测得∠BCD＝60又测得AC＝100米则点B到河岸AD的距离为()
图33－9米．米米．米6．[2014·重庆卷]如图33－10菱形ABCD的对角线AC相交于点O＝8＝6以AB为直()
图33－10－6π－6π－6π－67．[2013·遵义]如图33－11在矩形ABCD中对角线AC相交于点O点E分别是AO的中点若AB＝＝8则△AEF的周长为________
图33－11[解析]在中＝＝(cm)．点E分别是AO的中点是△AOD的中位线＝＝＝＝()，
AF＝＝＝4(cm)＝＝＝()，
∴△AEF的周长＝AE＋AF＋EF＝9()．
8．[2014·连云港]如图33－12(1)将正方形纸片ABCD对折使AB与CD重合折痕为EF如图(2)展开后再折叠一次使点C与点E重合折痕为GH点B的对应点为点M，EM交AB于点N则＝________．
图33－12
9．[2013·铁岭]如图33－13中＝AC是△ABC的角平分线点O为AB的中点连接DO并延长到点E使OE＝OD连接AE(1)求证：四边形AEBD是矩形；(2)当△ABC满足什么条件时矩形AEBD
图33－13解：(1)证明：∵点O为AB的中点＝OD四边形AEBD是平行四边形．＝AC是△ABC的角平分线四边形AEBD是矩形．(2)当△ABC是等腰直角三角形时(∠BAC＝90)，矩形是正方形．理由：是等腰直角三角形＝∠CAD＝∠DBA＝45＝AD矩形AEBD是正方形．
10．[2014·凉山州]如图33－14所示分别以的直角边AC及斜边AB向外作等边三角形ACD及等边三角形ABE已知＝30垂足为F连接DF.(1)试说明AC＝EF；(2)求证：四边形ADFE是平行四边形．
图33－14解：(1)∵△ABE是等边三角形垂足为F＝＝30＝AB＝90＝90＝30＝∠ACB＝∠BACAAS)，∴AC＝EF.(2)证明：∵△ACD是等边三角形＝AD＝60由(1)的结论得AC＝EF＝EF.＝30＝90EF且AD＝EF故四边形ADFE是平行四边形．
11．如图33－15①在△ABC中＝36＝AC的平分线BE交AC于点E.(1)求证：AE＝BC；(2)如图②过点E作EF∥BC交AB于点F将△AEF绕点A逆时针旋转角α(0<144°)得到△AE′F′连接CE′求证：＝BF′
图33－15[解析](1)根据条件可以求出图形中所有的角再根据“等角对等边”可以得出AE＝BE＝BC；(2)要证CE′＝BF′只要证得△CAE′≌△BAF
证明：(1)∵AB＝AC＝36＝∠C＝72又BE平分∠ABC＝∠CBE＝36＝180－∠C－∠CBE＝72＝∠A＝∠C＝BE＝BC＝BC.(2)由旋转的性质可知∠E′AC＝∠F′AB＝AF′又AB＝AC＝BF′.12．如图33－16和△ABD都是⊙O的内接三角形圆心O在边AB上边AD分别与BC交于E两点点C为的中点．(1)求证：OF∥BD.(2)若＝且⊙O的半径R＝6求证：点F为线段OC的中点；求图中阴影部分(弓形)的面积．
图33－16解：(1)证明：∵OC为半径点C为的中点为直径＝90即BD⊥AD(2)①证明：∵点O为AB的中点点F为AD的中点＝＝∠DBE.＝∠DEB＝＝＝FC＝OF即点F为线段OC的中点．
②∵FC＝OF＝AO.＝CO为等边三角形根据锐角三角函数的定义得△AOC的高为＝(cm)．阴影＝－＝(6π－9)()．即图中阴影部分(弓形)的面积为(6π－9)13．[2014·衢州]如图33－17已知等边三角形ABC＝12.以AB为直径的半圆与BC边交于点D过点D作DF⊥AC垂足为F过点F作FG⊥AB垂足为G连接GD.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)求FG的长；(3)求的值．
图33－17解：(1)证明：连接OD以等边三角形ABC的边AB为直径的半圆与BC边交于点D＝∠C＝∠ODB＝60＝∠ODF.＝∠ODF＝90即OD⊥DF是以边AB为直径的半圆的半径DF是⊙O的切线．
(2)∵OB＝OD＝＝6且∠B＝60＝OB＝OD＝6＝BC－BD＝AB－BD＝6.在中＝60＝30＝＝3＝9.＝90＝60＝AF＝(3)过点D作DE⊥FG垂足为E由(2)可得＝60＝3＝＝＝GF－EF＝－＝3＝＝＝
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