BBC菱形第22讲矩形、菱形、正方形考点1矩形┃考点自主梳理与热身反馈┃B【归纳总结】直角直角相等两三相等考点2菱形5【归纳总结】相等垂直平分一组对角轴相等垂直考点3正方形D【归纳总结】相等直角平分一组对角中心矩形菱形考点4中点四边形【归纳总结】【知识树】┃考向互动探究与方法归纳┃探究一与矩形折叠有关的计算题[中考点金]D探究二与菱形相关的综合题[中考点金]探究三与正方形相关的旋转证明题[中考点金]┃考题自主训练与名师预测┃AA1．若矩形ABCD的对角线AC相交于点O＝120＝8则△ABO的周长为()在四边形ABCD中＝DC＝BC请再添加一个条件使四边形ABCD是矩形．你添加的条件是________(写出一种即可)．∠A＝90或∠B＝90或∠C＝90或∠D＝90或AC＝BD(答案不唯一写定义 性质 判定 有一个角是________的平行四边形叫做矩形(1)矩形的四个角都是________；(2)矩形的对角线互相平分且________；(3)矩形是轴对称图形它有________条对称轴(1)根据矩形的定义；(2)有____个角是直角的四边形是矩形；(3)对角线______的平行四边形是矩形
1．在菱形ABCD中60°，AB＝5则对角线AC＝________．
图22－1
．已知一个菱形的周长为20其中较长的一条对角线长为8则这个菱形的面积是________．24cm2
3．如图22－2所示的对角线AC相交于点O试添加一个条件：__使得ABCD为菱形(填一个即可)．
图22－2AD＝DC或AC⊥BD等
定义 性质 判定 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 (1)菱形的四条边都________；(2)菱形______平分并且每一条对角线____________；(3)菱形是________对称图形两条对角线所在的直线是它的对称轴菱形也是中心对称图形它的对称中心是两条对角线的交点(1)根据菱形的定义；(2)四条边______的四边形是菱形；(3)对角线互相________的平行四边形是菱形
1．下列说法不正确的是()一组邻边相等的矩形是正方形对角线相等的菱形是正方形对角线互相垂直的矩形是正方形有一个角是直角的平行四边形是正方在正方形ABCD中＝12对角线AC相交于点O则△AOB的周长是________．(12＋12)
性质 判定 (1)正方形的对边平行；(2)正方形的四条边都________；(3)正方形_______；(4)正方形的对角线相等且互相垂直平分每条对角线________；(5)正方形既是轴对称图形也是________对称图形对称轴有四条对称中心是对角线的交点(1)有一组邻边相等的________是正方形；(2)有一个角是直角的________是正方形
如图22－3菱形ABCD的对角线长分别为a顺次连接菱形ABCD各边的中点得四边形A然后再顺次连接四边形A1各边的中点得四边形A如此下去得到四边形A四边形A的面积用含a的代数式表示为________．
图22－3ab
顺次连接四边形的中点所得到的图形称为中点四边形我们主要依据三角形的中位线定理来判断中点四边形的形状具体结论为：
连接中点的图形 中点四边形的形状 任意四边形 平行四边形 平行四边形 平行四边形 矩形 菱形 菱形 矩形 正方形 正方形
例1[2013·达州]如图22－4折叠矩形纸片ABCD使点B落在AD上一点E处折痕AB，BC上(含端点)且AB＝6＝10.设AE＝x则x的取值范围是__________．
图22－4
2≤x≤6
[解析]如图设AG＝y则BG＝6－y在中＋y＝(6－y)即x＝当y＝0时取最大值为6；当y＝时取最小值2故有2≤x≤6.
在解答有关矩形的折叠问题时应先根据轴对称找出全等图形由此得到相等的边或角从而找出解题的方法．在实际计算过程中有时需要结合勾股定理来计算．变式题[2014·黔东南州]如图22－5在矩形ABCD中＝8＝16将矩形ABCD沿EF折叠使点C与点A重合则折痕EF的长为()
图22－5D．4
例2如图22－6在矩形ABCD中对角线BD的垂MN与AD相交于点M与BD相交于点O与BC相交于点N连接BM(1)求证：四边形BMDN为菱形；(2)若AB＝4＝8求MD的长．
图22－6[解析](1)先利用垂直平分线的性质得到MB＝MD再证明△BON≌△DOM得MD＝BN得到四边形BMDN为平行四边形从而四边形BMDN为菱形；(2)由(1)可知MB＝MD在中利用勾股定理可求MD的长．
解：(1)证明：∵MN是BDMB＝MD＝OD.四边形ABCD是矩形＝∠ODM.＝∠DOM∴△BON≌△DOM，
∴BN＝MD.四边形BMDN是平行四边形平行四边形BMDN是菱形．(2)设MD＝x则AM＝8－x＝x.在中＝AB＋AM＝4＋(8－x)解得x＝5＝5.(1)证明四边形BMDN为菱形的方法很多既可用一组邻边相等的平行四边形是菱形来证明也可用对角线互相垂直平分的四边形是菱形来证明；(2)构造直角三角形利用勾变式题[2014·遂宁]已知：如图22－7在矩形ABCD中对角线AC相交于点O是CD的中点连接OE过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F连接DF.求证：(1)△ODE≌△FCE；(2)四边形ODFC是菱形．
图22－7
证明：(1)∵CF∥BD＝∠ECF＝∠EFC.是CD的中点＝DE(2)∵△EDO≌△ECF，
∴EO＝FE.＝DE四边形ODFC是平行四边形．四边形ABCD是矩形＝OD四边形ODFC是菱形．
例3已知：正方形ABCD中＝45绕点A顺时针旋转它的两边分别交CB(或它们的延长线)于点M当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时(如图22－8①)易说明BM＋DN＝MN.(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图22－8②)线段BM和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想并说明理由；
(2)当∠MAN绕点A旋转到如图22－8③的位置时线段BM和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
图22－8[解析](1)猜想BM＋DN＝MN仍然成立欲说明猜想成立所给条件不能直接使用可将△ABM绕点A逆时针旋转90(如图①)从而构造出“BM＋DN”再利用三角形2)中BM＋DN＝MN不成立仿(1)将△ABM绕点A逆时针旋转90得到△ADF(如图②)易推出DN－BM＝MN.解：(1)BM＋DN＝MN仍然成立．理由：如图①所示将△ABM绕点A逆时针旋转90得到△ADM′则有AM＝AM′＝∠DAM′＝DM′.＝45＝90＋∠DAN＝45＋∠DAN＝45即∠M′AN＝45＝∠M′AN.AM＝AM′＝AN＝M′N.＝ND＋DM′＝ND＋BM＝ND＋BM即BM＋DN＝MN.
(2)BM＋DN＝MN不成立易推出DN－BM＝MN.
解决这类问题的关键是利用正方形的性质及旋转的不变性找到相等的线段和角再通过推理论证来解答．变式题[2014·滨州]如图22－9已知正方形ABCD把边DC绕点D顺时针旋转30到DC′处连接AC′写出图中所有的等腰三角形并写出推理过程．
图22－9
解：图中的所有的等腰三角形有△DCC′推理过程如下：四边形ABCD是正方形＝AD＝AB＝BC＝∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90DC绕D点顺时针旋转30到DC′处＝DC＝AD＝AB＝∠DC′C＝(180－30)＝75即△DCC′是等腰三角形．∵∠ADC＝90＝30＝60＝AD为等边三角形＝AD＝AB＝∠DC′A＝60为等腰三角形＝90－60＝30＝∠AC′B＝180°－30)＝75＝90－75＝15＝90－75＝15＝∠C′CB是等腰三角形．
1．[2014·郴州]平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是()对角线互相平分对角线互相垂直对角线相等对角线互相垂直平分且相等2．[2013·天津]如图22－10在△ABC中＝BC点D分别是边AB的中点将△ADE绕点E旋转180得△CFE则四边形ADCF一定是()
图22－10矩形．菱形正方形．梯形[解析]∵△ADE绕点E旋转180得△CFE＝＝EFADCF是平行四边形．＝BC点D是边AB的中点＝90四边形ADCF是矩形．故选
3．[2014·曲靖]如图22－11在矩形ABCD中分别是AD的中点连接AF分别交于点M四边形EMFN是()
图22－11正方形．菱形矩形．无法确定4．[2013·成都]如图22－12将矩形ABCD沿对角线BD折叠使点C与点C′重合．若AB＝2则C′D的长为()
图22－125．[2014·台州]如图22－13菱形ABCD的对角线AC＝4把它沿着对角线AC方向平移得到菱形EFGH则图中阴影部分的面积与四边形EMCN的面积之比为()
图22－136．[2014·凉山州]顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是________．学校的一块菱形花圃两对角线的长分别是6和8则这个花圃的面积为________．24m2
7．[2014·衡阳]如图22－14在矩形ABCD中＝120＝5则BD的长为________．
图22－14[解析]∵四边形ABCD是矩形＝2AO＝2BO＝BDOA＝OB.＝120＝60是等边三角形＝AB＝5＝2BO＝10.
8．[2014·昆明]如图22－15将边长为6的正方形ABCD折叠使点D落在AB边的中点E处折痕为FH点C落在点Q处与BC交于点G则△EBG的周长是________
图22－159．[2013·德州]如图22－16在正方形ABCD中边长为2的等边三角形AEF的顶点E分别在BC和CD上．下列结论：①CE＝CF；＝75；③BE＋DF＝EF；④S正方形ABCD＝＋其中正确的序号是________(把你认为正确的都填上)．
图22－16[解析]根据三角形全等的知识可以判断①的正误；根据角之间的数量关系以及三角形内角和为180判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误；利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．10．[2014·淮安]如图22－17在三角形ABC中平分∠BAC将△ABC折叠使点A与点D重合展开后折痕分别交AB于点E连接DE求证：四边形AEDF是菱形．
图22－17
证明：由折叠可知AE＝ED＝DF＝∠2＝∠4.平分∠BAC＝∠3＝∠2＝∠3＝∠4四边形AEDF为平行四边形四边形AEDF为菱形．
11．[2014·莱芜]如图22－18已知△ABC是等腰三角形顶角∠BAC＝α(α<60)，D是BC边上的一点连接AD线段AD绕点A顺时针旋转α到AE过点E作BC的平行线交AB于点F连接DE(1)求证：BE＝CD；(2)若AD⊥BC试判断四边形BDFE的形状并给出证明．
图22－18解：(1)证明：由题知AE＝AD＝AC＝∠EAD＝α.＝∠BAD＋∠DAC＝∠BAD＋∠EAB＝∠DAC＝CD.(2)四边形BDFE是菱形．证明：∵AB＝AC＝CD.＝CD＝BD.＝∠C.＝∠C＝∠ABC.＝BF＝DF.＝∠FBD＝∠EBF＝EB＝BE＝EF＝FD四边形BDFE是菱形．
12．[2013·南京]如图22－19在四边形ABCD中＝BC对角线BD平分∠ABC是BD上一点过点P作PM⊥AD垂足分M，N.
(1)求证：∠ADB＝∠CDB；(2)若∠ADC＝90求证：四边形MPND是正方形．
图22－19证明：(1)∵BD平分∠ABC＝∠CBD.＝BC＝BD＝∠CDB.(2)∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD＝∠PND＝90＝90四边形MPND是矩形．＝∠CDB＝PN四边形MPND是正方形．
1．如图22－20菱形ABCD中对角线AC与BD相交于点O交BC于点E若AD＝则OE的长为()
图22－203cmD．2cm
[解析]由题可知OE为△BCD的中位线所以OE＝＝＝3()．故选2．如图22－21以边长为2的正方形的中心O为端点引两条相互垂直的射线分别与正方形的边交于A两点则线段AB的最小值是________．
图22－21
[解析]∵四边形CDEF是正方形＝∠ODB＝45＝90＝OD.＝90＋∠AOD＝90＋∠DOB＝90＝∠DOB.在△COA和△DOB中
∴△COA≌△DOB，∴OA＝OB.＝90是等腰直角三角形由勾股定理得AB＝＝要使AB最小只要OA取最小值即可根据垂线段最短当OA⊥CD时最小．＝＝1＝
3．如图22－22四边形ABCD是正方形＝BF与BC交于点G.(1)求证：AE＝CF；(2)若∠ABE＝55求∠EGC的大小．
图22－22解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形＝BC＝90＝90＝∠CBF.＝BC＝∠CBF＝BF＝CF.(2)∵BE＝BF＝90＝45＝90＝55＝35＝80
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