第19讲图形的相似考点1成比例线段┃考点自主梳理与热身反馈┃DB【归纳总结】相等黄金分割点考点2平行线分线段成比例6【归纳总结】成比例平行考点3相似三角形的判定AA【归纳总结】相等成比例成比例考点4相似三角形的性质DC【归纳总结】相等成比例相似比相似比的平方相等成比例相似比相似比相似比的平方【知识树】┃考向互动探究与方法归纳┃探究一相似三角形的基本模型A[中考点金]探究二相似三角形的性质与判定的综合[中考点金]B探究三相似三角形的应用A[中考点金]50┃考题自主训练与名师预测┃BBCC1．下列各组中的四条线段成比例的是()一条线段的黄金分割点有()个．个个．无数个1．成比例线段：在四条线段中如果其中两条线段的比与另外两条线段的比________那么就说这四条线段成比例．比例线段的基本性质：若＝则________．线段的黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC和BC如果＝＝则点C叫做线段AB的__________________．ad＝bc
1．如图19－1点D分别在AB上则＝________．
图19－1
2．如19－2直线l若AM＝3＝4＝10.5则FK＝________．
图19－2[解析]因为l所以＝所以＝所以FK＝6.
1．两条直线被一组平行线所截所得的对应线段________．________于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线1．已知如图19－3(1)(2)中各有两个三角形其边长和角的度数已在图上标注图(2)中AB交于点O对于各图中的两个三角形而言下列说法正确的是()
图19－3都相似．都不相似只有(1)相似．只有(2)相似2．已知小正方形的边长均为1则图19－5中的三角形(阴影部分)与图19－4中的△ABC相似的是()
图19－4
图19－51．两角分别________的两个三角形相似．两边分别________且夹角相等的两个三角形相似．三边________的两个三角形相似．1．已知△A′B′C′∽△ABC若△A′B′C′和△ABC的相似比为3∶4则△A′B′C′和△ABC的面积之比为()如图19－6所示在△ABC中若AD＝5＝10＝6则BC的长为()
图19－61．相似三角形的性质：(1)相似三角形_______，对应边_______；(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的比都等于________；(3)相似三角形面积的比等于____________．相似多边形的性质：相似多边形的对应角________对应边________对应边的比等于________周长的比等于________面积的比等于______________．例1[2013·上海]如图19－7已知在△ABC中点D分别是边AB上的点且AD∶DB＝3∶5那么CF∶CB等于()
图19－75∶8B．[解析∵AD∶DB＝3∶5＝5∶8.＝BD∶AB＝5∶8.∵EF∥AB＝CE∶AC＝5∶8.故选
常见的相似形模型如下：A字型 斜字型 字型 DE∥BC ∠B＝∠ADE AB∥CD 字型 旋转型 双垂直型 ＝∠E＝∠DAE AC⊥BC变式题如图19－8在△ABC中是AB边上一点连接CD要使△ADC与△ABC相似应添加的条件是________________(只需写出一个条件即可)．
图19－8
∠ACD＝∠B(或∠ADC＝∠ACB或＝)例2如图19－9是等边三角形是外角平分线点D在AC上连接BD并延长与CE交于点E.(1)求证：△ABD∽△CED；(2)若AB＝6＝2CD求BE的长．
图19－9
[解析](1)由△ABC是等边三角形可知∠ACB＝60所以∠ACF＝120再由CE是外角平分线可证∠BAC＝∠ACE而图中隐含∠ADB＝∠CDE故可证△ABD∽△CED；(2)先作BM⊥AC于点M可得AM＝CM＝3＝，再由AD＝2CD可得CD＝2＝4＝1故利用勾股定理可得BD＝2再由△ABD∽△CED可得ED＝所以BE＝BD＋ED＝3
解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形＝∠ACB＝60＝120是外角平分线＝60BAC＝∠ACE.＝∠CDE(2)过点B作BM⊥AC于点M.
∵AC＝AB＝6＝CM＝3＝AB·＝3＝2CD＝2＝4＝1.在中＝＝2由(1)知△ABD∽△CED＝＝2＝＝BD＋ED＝3相似三角形的性质与判定与全等三角形的性质与判定大体一致．但判定两个三角形相似最常用的方法是用角的相等关系来证明由边成比例来证明的相对较少．变式题如图19－10在平行四边形ABCD中是AB的中点和BD交于点O设△OCD的面积为m的面积为则m的值为()
图19－10
C．3D．10
例3如图19－11夏季的一天身高为1.6的小玲想测量一下屋前大树的高度她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时她的影子顶端正好与树的影子顶端重合测得BC＝＝0.8于是就得出树的高度为()
图19－1110m
[解析]由图中两个三角形相似根据“相似三角形的对应线段成比例”可列方程求解．设树的高度为x由两个三角形相似可得＝＝＝解得x＝8即树的高度为8故答案为
相似三角形的应用与全等三角形的应用大体相同它们都是先从实际问题中建立相应的数学模型再根据边、角的性质来解答．变式题如图19－12要测量池塘两端A的距离先取一个可以直接到达点A和B的点C连接AC并延长到点D使CD＝连接BC并延长到点E使CE＝连接ED.如果量得DE的长为25米那么池塘宽AB为________米．
图19－12
1．下列各组线段(单位：)中成比例线段的是()1，2，3，4B．1，2，2，4
C．3，5，9，13D．1，2，2，3
2．[2014·重庆卷]如图19－13相似比为1∶2若BC＝1则EF的长是()
图19－133．[2014·南京]若△ABC∽△A′B′C′相似比为1∶2则△ABC与△A′B′C′的面积的比为()已知AB＝10点C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC)则AC的长为()(5－10)(15－5)(5－5)(10－2)5．如图19－14是的斜边BC上异于点B的一定点M作直线截△ABC使截得的三角形与△ABC相似则这样的直线共有()
图19－141条．条条．条6.[2014·宁波]如图19－15四边形ABCD中＝∠ACD＝90＝2＝3则△ABC与△DCA的面积比为()
图19－15∶
7．[2014·北京]在某一时刻测得一根高为1.8的竹竿的影长为3同时测得一根旗杆的影长为25那么这根旗杆的高度为________
8．[2014·邵阳]如图19－16在ABCD中是BC上的一点直线DF与AB的延长线相交于点E且与AD相交于点P请从图中找出一组相似的三角形______________．
图19－16图19－17[2014·长沙]如图19－17在△ABC中＝的面积是8则△ABC的面积为________．答案不唯一如△DCF∽△EBF10．[2014·舟山]如图19－18在△ABC中＝2＝4将△ABC绕点C按逆时针方向旋A′B′C，使CB′∥AB分别延长AB相交于点D则线段BD的长为________．图19－18[解析]∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C＝CA′＝4＝B′A′＝2＝∠CA′B′.∵CB′∥AB，∴∠B′CA′＝∠D＝即＝解得AD＝8＝AD－AB＝8－2＝6.故答案为6.11．[2014·永州]如图19－19是△ABC的边AC上的一点连接BD已知∠ABD＝∠C＝6＝4求线段CD的长．
图19－19解：在△ABD和△ACB中＝∠C＝∠A＝＝6＝4＝＝＝9＝AC－AD＝9－4＝5.
12．[2014·陕西]某一天小明和小亮来到一河边想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度两人在确保无安全隐患的情况下先在河岸边选择了一点B(点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河小明在B点面向树的方向站好调整帽檐使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处如图19－20所示这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB＝1.7米；②小明站在原地转动180后蹲下并保持原来的观察姿态(除身体重心下移外其他姿态均不变)这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处此时小亮测得BE＝9.6米小明的眼睛距地面的距离＝米．根据以上测量过程及测量数据请你求出河宽BD是多少米．
图19－20解：由题意知∠BAD＝∠BCE.＝∠ABE＝90＝＝＝13.6.河流的宽BD是13.6米．
1．如图19－21把一张三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后在平面上将△ADE绕着点E顺时针旋转180点D到了点F的位置则S是()
图19－212．如图19－22中＝90垂直平分AC垂足为O若AD∥BC＝3＝4则AD的长为________
图19－22
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