[中考点金]第12讲二次函数的图象与性质考点1求二次函数的解析式┃考点自主梳理与热身反馈┃【归纳总结】考点2二次函数的图象与性质CAA【归纳总结】抛物线减小增大考点3抛物线的平移AD【归纳总结】考点4二次函数的图象与a，b，c的关系DD【归纳总结】原点【知识树】┃考向互动探究与方法归纳┃探究一求二次函数的最值[中考点金]探究二抛物线与直线同坐标系问题的解答D[中考点金]C探究三抛物线对称性的应用1．若二次函数y＝ax的图象经过点P(2)，则该二次函数的解析式为________________．y＝4x
[解析]将x＝2＝16代入y＝ax得16＝a×2＝4该二次函数的解析式为y＝4x2．若抛物线y＝ax＋bx＋c的顶点是A(2)，且经过点B(1)，则该抛物线的函数解析式为__________________．y＝－x＋4x－3
[解析]根据题意设抛物线的函数解析式为y＝a(x－2)＋1因为抛物线经过点(1)，所以a＋1＝0＝－1.因此抛物线的函数解析式为＝－(x－2)＋1＝－x＋4x－3.3．二次项系数为－1的抛物线的图象如图12－1则该抛物线的函数解析式为________________．
图12－1y＝－x＋x＋2
[解析]由图象得该二次函数解析式为y＝－1×[x－(－1)](x－2)即y＝－x＋x＋2.1．二次函数的解析式主要有三种形式：一般式：y＝__________(a为常数且a≠0)．顶点式：y＝________(a，h，k为常数a≠0)，其中抛物线的顶点为(h)．交点式：设抛物线与x轴交于点A(x)，B(x2，0)，则抛物线的函数解析式为y＝a(x－x)(x－x)(a≠0)．ax2＋bx＋c
a(x－h)＋k
2．求二次函数的解析式时应根据所给条件灵活选择函数解析式然后用待定系数法求出未知系数的值．已知抛物线上的三点可设为一般式；已知抛物线的顶点、对称轴或最大(小)值可设为顶点式；若已知抛物线与x轴的两个交点可设1．抛物线y＝－2x＋1的对称轴是()直线x＝直线x＝－轴直线x＝2[解析]∵x＝－＝－＝0抛物线y＝－2x＋1的对称轴为y轴．故选2．已知二次函数y＝2(x－3)＋1.下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝－3；③其图象的顶点坐标为(3－1)；④当x＜3时随x的增大而减小．其中说法正确的有()个．个．个．个[解析]∵a＝2＞0抛物线开口向上．由二次函数的顶点式可得抛物线的对称轴为x＝3顶点坐标为(3)．∵a＝2>0当x＜3时随x的增大而减小当x>3时随x的增大而增大．由此可得正确的只有1个故选3．设A(－2)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)＋a上的三点则y的大小关系为()y3B．y1>y3>y2
C．y3>y2>y1D．y3>y1>y2
[解析]∵函数的解析式是y＝－(x＋1)＋a如图所示对称轴是x＝－1点A关于对称轴的对称点A′是(0)，则点A′都在对称轴的右边而在对称轴右边随x的增大而减小故选
1．二次函数y＝axbx＋c(a为常数)的图象是一条____________．二次函数y＝ax＋bx＋c(a为常数)的性质：
图象
性质 开口方向 开口向上并向上方无限延伸 开口向下并向下方无限延伸 对称轴 ＝______ 顶点坐标(__________，______________) 增减性 当x>－时随x的增大而增大；当x<－时随x的增大而________当x>－时随x的增大而减小；当x<－时随x的增大而________ 最值当x＝－时有最小值最小＝当x＝－时有最大值最大＝________
－
－
1．将抛物线y＝3x向上平移3个单位长度再向左平移2个单位长度那么得到()＝3(x＋2)＋3．＝3(x－2)＋3＝3(x＋2)－3．＝3(x－2)－3[解析]由“上加下减”的平移规律可知将抛物线y＝3x向上平移3个单位长度所得抛物线的函数解析式为＝3x＋3；由“左加右减”的平移规律可知将抛物线＝3x＋3向左平移2个单位长度所得抛物线的函数解析式为y＝3(x＋2)＋3.故选2．在平面直角坐标系中若将抛物线y＝2x－＋3先向右平移3个单位长度再向上平移2个单位长度则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是()(－2)B．(－1)
C．(1，4)D．(4)
[解析]∵y＝2x－4x＋3＝2x－4x＋2＋1＝(x2－2x＋1)＋1＝2(x－1)＋1将抛物线y＝－4x＋3经两次平移后所得的新抛物线的函数解析式为y＝2(x－1－3)＋1＋2即y＝2(x－4)＋3新抛物线的顶点坐标为(4)．故选将抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)用配方法化成y＝a(x－h)＋k(a≠0)的形式而任意抛物线y＝(x－h)＋k均可由抛物线＝平移得到具体平移方法如下：
图12－21．已知抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图12－3所示则下列结论中正确的是()
图12－3＜0＜0．＋b＋c>0[解析]∵抛物线的开口向a＜0.又∵抛物线的对称轴在y轴的右侧异号＞0.∵抛物线与y轴的交点在x轴上方＞0.又∵当x＝1时对应的函数值在x轴上方即当x＝1时＝ax＋bx＋＝a＋b＋c＞0.∴选项都错只有选项D正确．如图12－4所示的二次函数y＝ax＋bx＋c的图象中刘星同学观察得出了下面四条信息：(1)b－4ac>0；(2)c>1；(3)2a－b<0；(4)a＋＋c<0.你认为其中错误的有()
图12－4个．个．个．个二次函数y＝ax＋bx＋c(a为常数)的系数符号与其图象之间有如下关系：
系数 影响因素 抛物线开口向上；抛物线开口向下 b 抛物线的对称轴为x＝－；同号对称轴在y轴的左侧异号对称轴在y轴的右侧；________对称轴为y轴抛物线与y轴的交点为(0)；抛物线与y的正半轴相交＝0抛物线过________；抛物线与y的负半轴相交
b＝0
例1函数y＝－(x－2)(x－3)的最大值是________．
[解析]把二次函数的解析式由交点式转化为顶点式可求其最值．y＝－(x－2)(x－3)＝－x＋5x－6＝－(x－)＋所以当x＝时函数的最大值为确定二次函数的最值首先看自变量的取值范围再分别求出二次函数在顶点处的函数值和在端点处的函数值比较这些函数值其中最大的是函数的最大值最小的是函数的最小值．求函数在顶点处的函数值的方法有①把二次函数化为一般式则当x＝－时其最值为；②把二次函数化为顶点式y＝a(x－h)＋k则当x＝h时其最值为k；③在图象上对称轴与抛物线交点的纵坐标即为其最值．变式题求函数y＝2x－8x＋6在下列自变量取值范围内的最大值和最小值：(1)－1≤x≤4；(2)4≤x≤5.解：作出函数y＝2x－8x＋6的函数图象(如图所示)．
(1)当－1≤x≤4时y＝2x－8x＋6对应的图象是图中A－B－C部分的曲线．显然点A处于最高点抛物线的顶点B处于最低点所以当x＝2时y取最小值最小值＝2×2－8×＋6＝－2；当x＝－1时取最大值最大值＝2×(－1)－8×(－1)＋6＝16.(2)当4≤x≤5时函数y＝2x－8x＋6对应的图象是图中C－D部分的曲线．显然点D处于最高点点C处于最低点．所以当x＝5时取最大值最大值＝2×5－8×56＝16；当x＝4时取最小值最小值＝2×4－8×4＋6＝6.例2在同一平面直角坐标系中函数y＝mx＋m和y＝－mx＋2x＋2(m是常数且m≠0)的图象可能是()
图12－5[解析]因为m≠0当m>0时直线y＝mx＋m经过第一、二、三象限抛物线y＝－mx＋2x＋2开口向下且与y轴交于正半轴对称轴在y轴右侧四个选项中没有符合要求的答案；当m<0时直线y＝mx＋m经过第二、三、四象限抛物线y＝－mx＋2x＋2的开口向上且与y轴交于正半轴对称轴在y轴的左侧四个选项中只有解答抛物线与直变式题已知a≠0在同一平面直角坐标系中函数y＝ax与y＝ax的图象有可能是()
图12－6
例3如图12－7在平面直角坐标系中二次函数y＝ax＋c(a＜0)的图象过正方ABOC的三个顶点A则ac的值是________．
图12－7
－2
[解析]连接BC交OA于点D则DC＝＝OD＝DA由已知条件可知点A的坐标为(0)，所以点C的坐标为()，从而有＝＋c.所以＝－2抛物线的轴对称性是二次函数的一个重要特征在实际解题过程中可通过对称性转化题目中的已知条件使之变得能与其他量直接比较与计算从而使求解变得简洁．变式题若A(－)，B(－1)，C(，y3)为二次函数y＝－x－4x＋5的图象上的三点则yy2，y3的大小关系是()＜y＜yy3＜y＜y＜y＜y＜y＜y
[解析]二次函数y＝－x－4x＋5可变形为y＝－(x＋2)＋9所以抛物线的顶点坐标为(－2)，对称轴为直线x＝－2.由此可知点A关于直线x＝－2的对称点的坐标为(－)，这样它与(－1)，C(，y3)都在对称轴的右侧因为抛物线的开口向下所以在对称轴的右侧随x的增大而减小所以y＜y＜y故选1．若y＝(m＋1)x－6m－5是关于x的二次函数则m＝()A．7B．－1－1或7．以上都不对[解析]令x的指数为2且系数不为0列出方程与不等式解答即可．由题意得m－6m－5＝2且m＋1≠0解得m＝7或－1－1＝7.2．[2013·丽水]若二次函数y＝ax的图象过点P(－2)，则该图象必经过点()(2，4)B．(－2－4)(－4)D．(4－2)[2014·成都]将y＝x－2x＋3化为y＝(x－h)＋k形式结果为()＝(x＋1)＋4．＝(x＋1)＋2＝(x－1)＋4．＝(x－1)＋2[2014·兰州]抛物线y＝(x－1)－3的对称轴是()轴．直线x＝－1直线x＝1．直线x＝－35．[2014·毕节]抛物线y＝2x＝－2x＝的共同性质是()开口向上对称轴是y轴都有最高点随x的增大而增大[2014·苏州]二次函数y＝ax＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1)，则代数式1－a－b的值为()－3．－1[2014·上海]如果将抛物线y＝x向右平移1个单位那么所得新抛物线的函数解析式是()＝x－1．＝x＋1＝(x－1)＝(x＋1)8．[2014·遵义]已知二次函数y＝ax＋bx和一次函数y＝ax＋b在同一平面直角坐标系内的图象如图12－8所示其中正确的是()
图12－89．[2014·沈阳已知抛物线y＝－(x＋1)上的两点A(x)和B(x)，如果x2<－1那么下列结论一定成立的是()[2014·云南]抛物线y＝x－2x＋3的顶点坐标为________．[2013·湛江]抛物线y＝x＋1的最小值是________．(1，2)
12．[2014·沈阳]如图12－9已知二次函数y＝ax＋bx＋c的图象的对称轴是过点(1)且与y轴平行A，B均在图象上且直线AB与x轴平行．若点A的坐标为(0)，则点B的坐标为________．
图12－9
(2，)
13．[2013·广州]已知抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)过点A(1)，顶点为B且抛物线不经过第三象限．1)使用a表示b；(2)判断点B所在象限并说明理由；(3)若直线y＝2x＋m经过点B且与该抛物线交于另一点C求当x≥1时y的取值范围．解：(1)b＝－ac.
(2)点B在第四象限．理由如下：当y＝0时＝1＝抛物线与x轴有两个交点．又∵抛物线不经过第三象限且顶点在第四象限．
(3)∵C在抛物线上＋8＝0＝－8＋c＝8.把B两点坐标代入直线的函数解析式易得ac＋－24＝0即解得或＝6＝2.画图易知点C在点A的右侧当x≥1时＝－2.
1．在同一平面直角坐标系中函数y＝mx＋m和函数y＝－mx＋2x＋2(m是常数且m≠0)的图象可能是()
图12－102．如图12－11已知二次函数y＝x＋bx＋c的图象经过点(－1)，(1，－2)当y随x的增大而增大时的取值范围是________．
图12－11x>
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