AC第10讲一次函数考点1一次函数的图象与性质┃考点自主梳理与热身反馈┃ABB【归纳总结】考点2用待定系数法求一次函数的解析式D【归纳总结】考点3一次函数与方程(组)、不等式的关系【归纳总结】0考点4一次函数的应用B50510【归纳总结】【知识树】┃考向互动探究与方法归纳┃探究一表格或图象反映出的函数信息C[中考点金]C探究二一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积问题[中考点金]探究三利用一次函数解决最优化问题[中考点金]┃考题自主训练与名师预测┃ABCC1．一次函数y＝－2x＋4的图象与y轴的交点坐标是()(0，4)B．(4)
C．(2，0)D．(0)
2．一次函数y＝x－2的图象不经过()第一象限．第二象限第三象限．第四象限对于一次函数y＝－3x－6下列结论错误的是()函数值随自变量的增大而减小函数的图象不经过第三象限函数的图象向上平移6个单位长度得到y＝－3x的图象函数的图象与x轴的交点坐标是(－2)
1．一次函数的图象与性质
图象 形状：一条直线 解析式 k<0 经过点 y＝kx ＝0 (0)，(1，__) b确定直线与轴的交点位置 ＝kx＋b (0，__)，
(__，0) b<0 性质随x的增大而增大y随x的增大而减小 k确定直线的变化趋势
k
b
－
2.平移规律：一次函数y＝kx＋b的图象可由正比例函数y＝kx的图象平移得到b>0，则向上平移b个单位；若b<0则向下平移个单位．1．如果直线y＝kx＋b经过点A(0)，B(1，0)，则k的值为()＝－1＝－1．k＝1＝1＝1＝－1．＝－1＝1已知y＋2与x成正比例且当x＝－1时＝2则y与x之间的函数解析式为____________．y＝－4x－2
用待定系数法确定一次函数的解析式通常先设函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)把已知点的坐标代入函数解析式可得方程(组)求出未知1．一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的图象如图10－1所示根据图象信息可求得关于x的方程kx＋b＝0的解为________不等式kx＋b>0的解集为________．图10－1图10－2如图10－2一次函数y＝k＋b的图象l与＝＋b的图象l相交于点P则方程组的解是________．
x＝－1
x>－1
1．一次函数与一元一次方程之间的关系：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的函数值为________时相应的自变量的值为方程kx＋b＝0的解．一次函数与一元一次不等式之间的关系：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的函数值大于(或小于)0相应的自变量的值为不等式kx＋b________0(或kx＋b0)的解．一次函数与方程组之间的关系：两直线的交点是两个一次函数解析式y＝k＋b和y＝＋b所组成的方程组____________的解．>
<
1．甲、乙两人s(米)与赛跑时间t(秒)的关系如图10－3所示则下列说法正确的是()
图10－3甲、乙两人的速度相同甲先到达终点乙用的时间短乙比甲跑的路程多2.某汽车工作时油箱中的汽油量y()与汽车工作时间t()之间的函数关系如图10－4汽车开始工作时油箱中有________汽油经过______耗尽汽油平均每小时耗油________(L)与(h)之间的函数解析式为______________．
图10－4y＝－10t＋50(0≤t≤5)
应用一次函数图象解题的关键在于弄清纵、横轴各表示什么量图象上每一点表例1甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛．两队在比赛时的路程s(米)与时间t(分)之间的函数关系如图10－5所示请你根据图象判断下列说法正确的是()甲队率先到达终点甲队比乙队多走了200米路程乙队比甲队少用0.2分钟比赛过程中两队从出发到2.2分钟这一时间段乙队的速度比甲队的速度大
图10－5[解析]∵比赛路程st(分)变化的函数图象是在两队同时同地出发的条件下所对应的图象时间相同时较大的领先；s相同时较小的先到．＝1000时甲＝4乙＝3.8乙＜t甲乙先到达终点错；甲、乙两队的总赛程都是1000米错；当0≤t≤时甲的图象位于上方较大甲的速度也较大错；当＝1000即到达终点时甲队用时4分钟乙队用时3.8分钟乙队比甲队少用4－＝0.2(分)C正确．两个函数图象中位于上方的图象相同自变量所对应的函数值较大；图象越陡函数值变化的速度越快．变式题某电视台“走基层”栏目的一位记者乘汽车赴360外的农村采访全程的前一部分为高速公路后一部分为若汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶汽车行驶的路程y(单位：)与时间x(单位：)之间的关系如图10－6所示则下列结论正确的是()
图10－6汽车在高速公路上的行驶速度为100乡村公路总长为90汽车在乡村公路上的行驶速度为60该记者在出发后4.5到达采访地
例2已知一次函数y＝kx＋b0，2)，且与两坐标轴围成的三角形面积为2求此一次函数的解析式．[解析]先求出函数解析式中b的值再用含k的代数式表示出一次函数图象与两坐标轴交点的坐标然后可表示出三角形的面积列出方程求得k故可得一次函数的解析式．解：将点(0)代入解析式y＝kx＋b得b＝2则一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点横坐标为－＝－由题意可得×2＝2则k＝±1所以一次函数的解析式为y＝x＋2或y＝－x＋2.
一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点坐标为与y轴的交点坐标为(0)，与坐标轴围成的三角形的面积为·＝.
变式题在平面直角坐标系中一次函数的图象与坐标轴围成的三角形叫做此一次函数的坐标三角形．例如图10－7中的一次函数的图象与轴轴分别交于点A则△OAB为此函数的坐标三角形．(1)求函数y＝－＋3的坐标三角形的三条边长；2)若函数y＝－＋b(b为常数)的坐标三角形的周长为16求此三角形的面积．
图10－7
解：(1)∵直线y＝－＋3与x轴的交点坐标为(4)，与y轴的交点坐标为(0)，
∴函数y＝－＋3的坐标三角形的三条边长分别为4，5.
(2)直线y＝－＋b与x轴的交点坐标为()，与y轴的交点坐标为(0)．当b>0时＋＋＝16得b＝4此时坐标三角形的面积为；当b<0时－b－－＝16得b＝－4此时坐标三角形的面积为综上当函数y＝－＋b(b为常数)的坐标三角形的周长为16时此三角形的面积为
例3如图10－8为三个超市在A通往C的道路(粗实线部分)上有一点D与B有道路(细实线部分)相通．A与D与C与B之间的路程分别为25现计划在A通往C的道路上建一个配货中心H每天有一辆货车只为这三个超市送货．该货车每天从H出发单独为A超市送货1次为B超市送货1次为C超市送货2次．货车每次仅能给一家超市送货每次送货后均返回配货中心H.设H到A的路程为这辆货车每天行驶的路程为y
图10－8(1)用含x的代数式填空：当0≤x≤25时货车从H到A往返1次的路程为2x货车从H到B往返1次的路程为________货车从H到C往返2次的路程为________这辆货车每天行驶的路程y＝________；当25
图10－9[解析](1)根据当0≤x≤25时结合图象分别得出货车从H到A的距离进而得出y与x之间的函数关系式；再利用当25＜x≤35时分别得出货车从H到A的距离即可得出y＝100.(2)利用(1)中所求利用x的取值范围得出y与x之间的函数关系图象．(3)结合图象求出符合条件的最小值从H所在的位置．
解：(1)∵当0≤x≤25时货车从H到A往返1次的路程为2x货车从H到B往返1次的路程为2(5＋25－x)＝(60－2x)()，
货车从H到C往返2次的路程为4(25－x＋10)＝(140－4x)()，
这辆货车每天行驶的路程y＝2x＋60－2x＋140－4x＝－4x＋200；当25＜x≤35时货车从H到A往返1次的路程为货车从H到B往返1次的路程为25＋x－25)＝(2x－40)()，
货车从H到C往返2次的路程为4[10－(x－25)]＝(140－4x)()，
故这辆货车每天行驶的路程y＝2x＋2x－40＋140－4x＝100.故答案为：(60－2x)(140－4x)(－4x＋200)100(2)如图所示：
(3)根据(2)中图象可得：当25≤x≤35时恒等于100此时y的值最小故配货中心H建在CD段这辆货车每天行驶的路程最短为100一次函数最优化问题需要先确定影响问题的关键量再列出函数解析式然后分析解析式或者图象从而确定最优化方案．解这类题的关键是分析数量1．下列函数中是正比例函数的是()＝－8x．＝＝5x＋6．＝－0.5x－1[2014·东营]直线y＝－x＋1经过的象限是()第一、二、三象限．第一、二、四象限第二、三、四象限．第一、三、四象限[2014·陕西]若点A(－2)在正比例函数＝－的图象上则m的值是()B．－－14．[2014·河北]如图10－10直线l经过第二、三、四象限的函数解析式是y＝(m2)x＋n则m的取值范围在数轴上表示为()
图10－10
图10－115．[2014·娄底]一次函数y＝kx－k(k<0)的大致图象是()
图10－126．[2013·娄底]一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象如图10－13所示当y>0时的取值范围是()
图10－13＜0．＞0＜2．＞27．[2013·牡丹江]若等腰三角形的周长是100则能反映这个等腰三角形的腰长y()与底边长x()之间的函数关系的图象是()
图10－14[解析]根据等腰三角形的周长是100得函数解析式为y＝－＋50同时注意x>08．[2014·荆门]如图10－15所示直线y＝x＋b与＝kx－1相交于点P点P的横坐标为－1则关于x的不等式x＋b＞kx－1的解集在数轴上表示正确的是()
图10－15
图10－169．[2013·资阳]在一次函数y＝(2－k)x＋1中随x的增大而增大则k的取值范围为________．k＜2
10．[2014·武汉]在一次越野赛中当小明跑了1600米时小刚跑1400米小明、小刚此后所跑的路程y(米)与时间(秒)之间的函数关系如图10－17所示则这次越野跑的全程为________米．
图10－1711．如图10－18直线AB与x轴交于点A(1)，与y轴交于点B(0－2)．(1)求直线AB的函数解析式；(2)若直线AB上的点C在第一象限且S＝2求点C的坐标．
图10－18解：(1)设直线AB的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)直线AB过点A(1)，B(0，－2)解得直线AB的函数解析式为y＝2x－2.(2)设点C的坐标为(x)，
∵S△BOC＝2·2·x＝2解得x＝2∴y＝2×2－2＝2点C的坐标是(2)．
12．[2014·遵义]为倡导低碳生活绿色出行某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行”活动．自行车队从甲地出发途径乙地短暂休息完成补给后继续前行至目的地丙地．自行车队出发1小时后恰有一辆邮政车从甲地出发沿自行车队行进路线前往丙地在丙地完成2小时装卸工作后按原路自行车队与邮政车的行驶速度均保持不变并且邮政车的行驶速度是自行车队行驶速度的2.5倍．图10－19表示自行车队、邮政车离甲地的路程y()与自行车队离开甲地的时间x()的函数关系图象请根据图象提供的信息解答下列各题．(1)自行车队行驶的速度是________；(2)邮政车出发多少小时与自行车队首次相遇？(3)邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远？
图10－19解：(1)24(2)设邮政车出发t与自行车队首次相遇．因为自行车队行驶的速度是24所以邮政车的速度是60根据题意得60t＝24(t＋1)解得t＝答：邮政车出发与自行车队首次相遇．(3)设自行车队行驶了x与邮政车再次相遇．根据题意得24(x－)＋60(x－1－2－)＝135解得x＝(－)＝120()．答：邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地120
13．[2014·凉山州]我州某校计划购买甲、乙两种树苗共1000株用以绿化校园．甲种树苗每株25元乙种树苗每株30元通过调查了解甲、乙两种树苗的成活率分别是90和95%.(1)若购买这两种树苗共用去28000元则甲、乙两种2)要使这批树苗的成活率不低于92则甲种树苗最多购买多少株？(3)在(2)的条件下应如何选购树苗使购买树苗的费用最低？并求出最低费用．解：(1)设购买甲种树苗x株乙种树苗y株则解得答：购买甲种树苗400株乙种树苗600株．(2)设购买甲种树苗z株则购买乙种树苗(1000－z)株列不等式得＋95(1000－z)≥92解得z≤600.答：甲种树苗最多购买600株．(3)设购买树苗的总费用为w元则w＝25z＋30(1000－z)＝－5z＋30000.－5＜0随z的增大而减小．0＜z≤600当z＝600时最小＝30000－5×600＝27000.答：当购买甲种树苗600株乙种树苗400株时总费用最低最低费用是27000元．
1．下列函数图象经过原点的是()＝3x．＝1－2x＝＝x－1将一次函数y＝3x－1的图象沿y轴向上平移3个单位后得到的图象对应的函数解析式为________．y＝3x＋2
3．暑假期间小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游．出发前汽车油箱内储油45升当行驶150千米时发现油箱剩余油量为30升．(1)已知油箱内余油量y(升)是行驶路程x(千米)的一次函数求y与x之间的函数解析式；(2)当油箱中余油量少于3升时汽车将自动报警．如果往返途中不加油解：(1)设y＝kx＋b(k≠0)．当x＝0时＝45；当x＝150时＝30解得＝－＋45.(2)当x＝400时＝－＋45＝5>3.他们能在汽车报警前回到家． |
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