Gothedistance
1
变化率与导数、导数的计算
一．知识梳理
1．导数的概念
（1）函数()yfx?在0xx?处的导数
称函数()yfx?在0xx?处的瞬时变化率00
00()()limlimxxfxxfxyxx???????????
为函数
()yfx?在0xx?处的导数，记作''0()fx（或''0|yxx?），即''00()limxyfxx?????
000()()limxfxxfxx???????．
（2）函数()fx的导函数
称函数
0()()limxfxxfxx??????
为()fx的导函数，即''
0()()()limxfxxfxfxx???????
．
（3）导数的几何意义
函数()yfx?在点0x处的导数''0()fx的几何意义是曲线()yfx?在点00(,())Pxfx
处的切线斜率，即''0()kfx?．相应的切线方程为''000()()()yfxfxxx???．
2．基本初等函数的导数公式
（1）''()0C?，''1()xx?????，''
211()xx??
，''1()
2xx?
．
（2）''()xxee?，''()lnxxaaa?．
（3）''1(ln)xx?，''1(log)ln
axxa?
．
（4）''(sin)cosxx?，''(cos)sinxx??．
3．导数的运算法则
（1）''''''[()()]()()fxgxfxgx???
（2）''''''[()()]()()()()fxgxfxgxgxfx??，''''[()]()CfxCfx?
（3）''''''
2()()()()()[]()()fxfxgxgxfxgxgx??
4．复合函数的导数
复合函数(())yfgx?的导数和函数(),()yfuugx??的导数的关系为''''''xuxyyu?，
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
Gothedistance
2
二．要点整合
1．辨明三个易误点
（1）利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
（2）求曲线的切线时，要分清点在点P处与过点P的切线的区别，前者只有一条，而
后者包括了前者．
（3）曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时
有差别．
2．导数的运算技巧
（1）要准确的把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商及其复合运算形式，再利
用运算法则求导数．
（2）对数函数的真数是根式或者分式时，可用对数运算性质化为有理式或整式后再求
导；当函数表达式含有三角函数时，可优先考虑用三角公式化简后再求导．
三．典例精析
1．导数的运算
导数计算的原则与方法
（1）求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形化简，然后再求导，这样可以减少运
算量，提高运算速度．
（2）复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，
再求导．
【例题1】求下列函数的导数
（1）2(34)(21)yxxx???；2sinyxx?；32xxxyee???；
2ln1xyx??
；ln(25)yx??．
【变式1】
（1）求下列函数的导数
nxyxe?；cossinxyx?；lnxyex?；2(1sin)yx??．
（2）求下列函数的导数
lgnyxx?；
23111yxxx???
；21ln21xyx???．
2．导数的几何意义
（1）求曲线切线的步骤
①求函数()yfx?在点0xx?处的导数，即切线斜率''0()kfx?；
②由点斜式求得切线方程为''000()()()yfxfxxx???．
（2）求曲线切线方程注意两点
①当曲线()yfx?在点00(,)Pxy处的切线平行于y轴时（此时导数不存在），切线方
程为0xx?；
②当切点坐标不知道时，应先设出切点坐标，再求解．
【例题2】
Gothedistance
3
（1）（2015青岛）曲线32yxx??在(1,1)?处的切线方程为（）
.20Axy???.20Bxy???.20Cxy???.20Dxy???
（2）（2014课标Ⅱ）设曲线lnyaxx??在点(1,0)处的切线方程为2yx?，则a?（）
.0A.1B.2C.3D
（3）设aR?，函数()xxfxeae???的导函数是''()fx，且''()fx是奇函数．若曲线
()yfx?的一条切线的斜率为32，则切点的横坐标是（）
.ln2A.ln2B?ln2.2Cln2.2D?
【变式2】
（1）（2015肇庆）若曲线33122yxx???的某一切线与直线43yx??平行，则切线方程
为．
（2）函数2ln(23)2()xxfxx???的图象在点(1,2)?处的切线与坐标轴围成的三角形面积
等于．
3．导数与其它知识交汇
【例题3】（2013江苏）抛物线2yx?在1x?处切线与两坐标轴围成的三角形区域为D（包
含内部与边界）．若点(,)Pxy是区域D内的任意一点，则2xy?的取值范围是．
【变式3】
（1）（2014衡水）已知(),()fxgx都是定义在R上的函数，()0gx?，
''''()()()()fxgxgxfx?，且()()(0,1)xfxagxaa???，(1)(1)5(1)(1)2ffgg????．若数列
(){}()fngn的前n项和大于62，则n的最小值为（）
.6A.7B.8C.9D
（2）（2015武汉）已知曲线1()()nfxxnN????与直线1x?交于点P，设曲线()yfx?在
点P处的切线与x轴交点的横坐标为nx，则2015120152loglogxx??20152014logx?的值
为．
（3）（2014石景山）若存在实数,kb使得函数(),()fxgx对其定义域上的任意实数x分别
Gothedistance
4
满足(),()fxkxbgxkxb????，则称直线:lykxb??为()fx和()gx的隔离直线．已
知函数2()1,()2lnfxxgxx???，则()fx和()gx的隔离直线方程为．
四．针对训练
.A组基础训练
1．函数2cosyxx?在1x?处的导数是（）
.0A.2cos1sin1B?.cos1sin1C?.1D
2．（2015郑州）已知曲线23ln2xyx??的一条切线斜率为2，则切点的横坐标为（）
.3A.2B.1C1.2D
3．已知()fx与()gx是定义在R上的两个可导函数，若''''()()fxgx?，则()fx与()gx满
足（）
.()()Afxgx?.()()0Bfxgx??
.()()Cfxgx?为常数.()()Dfxgx?为常数
4．设曲线1cossinxyx??在点(,1)2?处的切线与直线10xay???平行，则实数a?（）
.1A?1.2B.2C?.2D
5．若函数''()cos2()6fxxxf???，则()3f??与()3f?的大小关系是（）
.()()33Aff????.()()33Bff????.()()33Cff????.D不确定
6．函数sinxyx?的导数为．
7．已知函数''2()ln(1)34fxxfxx?????，则''()f?．
8．若点P是曲线2lnyxx??上任意一点，则点P到直线2yx??的最小距离为．
9．已知点M是曲线3212313yxxx????上任意一点，曲线在M处的切线为l．
（Ⅰ）求斜率最小时的切线方程；
（Ⅱ）求切线l的倾斜角?的取值范围．
Gothedistance
5
10．已知函数3()16fxxx???．
（Ⅰ）求曲线()yfx?在点(2,6)?处的切线的方程；
（Ⅱ）直线l为曲线()yfx?的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
（Ⅲ）若曲线()yfx?的某一切线与直线134yx???垂直，求切线方程及切点坐标．
.B组能力提升
1．下面四个图中，有一个是函数3221()(1)1()3fxxaxaxaR??????的导函数''()fx的
图象，则(1)f??（）
1.3A2.3B?7.3C1.3D?或53
2．设函数323sincos()4132fxxxx??????，5[0,]6???，则导数''(1)f?的取值范围
是（）
.[3,6]A.[3,43]B?.[43,6]C?.[43,43]D??
3．（2014衡水）若函数1()(,0)axfxaabb???的图象在0x?处的切线与圆221xy??相
切，则ab?的最大值是（）
.4A.22B.2C2
4．已知1()sincosfxxx??，记''''''21321()(),()(),,()()nnfxfxfxfxfxfx????(nN??，
2)n?，则122016()()()222fff???????．
5．（2011江苏．12）已知P是函数()(0)xfxex??图象上的动点，该图象在点P处的切
线l交y轴于点M．过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN中点的纵坐标为t，则t
的最大值为．
Gothedistance
6
6．（2015宁波）给出定义：若函数()fx在D上可导，即''()fx存在，且导函数''()fx在D
上也可导，则称()fx在D上存在二阶导函数，记''''''''()(())fxfx?．若''''()0fx?在D上恒
成立，则称()fx在D上为凸函数．以下四个函数在(0,)2?上是凸函数的是．
①()sincosfxxx??；②()ln2fxxx??；③3()21fxxx????；④()xfxxe?．
|
|
