自主招生高一每日一题
2013.11.25
函数(19)—2008河北
【2008河北】设定义在[0,2]上的函数()fx满足下列条件：
（1）对于[0,2],x?总有(2)()fxfx??，且()1,(1)3;fxf??
（2）对于,[1,2]xy?，若3xy??，则()()(2)1fxfyfxy?????
证明：（1）12()1()
33nnfnN???
;（2）[1,2]x?时，1()136fxx???.
【证明】由(2)()fxfx??知，函数()fx图象关于直线1x?对称，根据条件（2）
可知：对于,[0,1]xy?，若1xy??，则()()()1fxyfxfy????.
设12,[0,1]xx?，且12xx?，则21[0,1]xx??，因此
211211121121()()[()]()()()1()()10fxfxfxxxfxfxfxxfxfxx??????????????
可知()fx在[0,1]上是不减函数.
（1）因为
111111111()()()()13()233333333nnnnnnnnfffff??????????
所以
11112()()3333nnff???
2221122()3333nf????
...
1122()...3333nnnnf?????
111133nn????
213n??
（2）对于任意(0,1]x?，则必存在正整数n，使得
11133nnx???
.因为
()fx在(0,1)上是不减函数，所以111()()()33nnffxf???.
由（1）知
11121()16161333nnn?????????
由条件（1）可知(2)1f?，在条件（2）中，令2xy??，得(2)1f?，
因此(2)1f?，而(2)(0)ff?，故而(0)1f?，又因为1()(0)
3nff?
，可
知1()1
3nf?
，则当[0,1]x?时，1()61fxx???.当[1,2]x?时，因为
2[0,1]x??，且()(2)fxfx??，则1(2)6(2)1136.fxxx???????
因此，当[1,2]x?时1()136fxx???
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