高考数学研究2012湖北1/2
自主招生高一每日一题
2013.12.10
函数(34)—2012湖北
【题1】设)3(log)2(log)(axaxxfaa????，其中0?a且1?a．若在区间]4,3[??aa上
1)(?xf恒成立，求a的取值范围．
高考数学研究2012湖北2/2
【解析】22225()log(56)log[()]
24aaaafxxaxax??????
．
由
???????,03,02axax
得ax3?，由题意知aa33??，故23?a，从而53(3)(2)022aaa?????，
故函数225()()
24aagxx???
在区间]4,3[??aa上单调递增.
------------------------------------------5分
（1）若10??a，则)(xf在区间]4,3[??aa上单调递减，所以)(xf在区间]4,3[??aa上的
最大值为)992(log)3(2????aaafa．
在区间]4,3[??aa上不等式1)(?xf恒成立，等价于不等式1)992(log2???aaa成立，从而
aaa???9922，解得275??a或275??a．
结合10??a得
10??a．------------------------------------------10分
（2）若231??a，则)(xf在区间]4,3[??aa上单调递增，所以)(xf在区间]4,3[??aa上的
最大值为)16122(log)4(2????aaafa.
在区间]4,3[??aa上不等式1)(?xf恒成立，等价于不等式1)16122(log2???aaa成立，从而
aaa???161222，即0161322???aa，解得4411344113????a．
易知
2344113??
，所以不符
合．------------------------------------------15分
综上可知：a的取值范围为
(0,1)．------------------------------------------20分
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