高考数学研究2012浙江1/2
自主招生高一每日一题
2013.12.19
函数(43)—2012浙江
【题1】已知a>0，函数f(x)=ax-bx2,
（1）当b>0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明：a≤2b；
（2）当b>1时，证明：对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要条件是：b-1≤a≤2b；
（3）当0
高考数学研究2012浙江2/2
【解析】（1）证：依题设，对任意x∈R，都有f(x)≤1。∵f(x)=-b(x-ba2)2+
ba42
，∴f(ba2)=
ba42
≤1，∵a>0,b>0,∴a≤2b。
（2）证：（必要性），对任意x∈[0,1]，|f(x)|≤1?-1≤f(x)据此可推出-1≤f(1)即a-b≥-1，
∴a≥b-1。对任意x∈[0,1]，|f(x)|≤1?f(x)≤1，因为b>1，可推出f(b1)≤1。即a·b1-
≤1，∴a≤2b，所以b-1≤a≤2b。
（充分性）：因b>1,a≥b-1，对任意x∈[0,1]，可以推出：ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x
≥-1，即：ax-bx2≥-1；因为b>1，a≤2b，对任意x∈[0,1]，可推出ax-bx2≤2b-bx2≤
1，即ax-bx2≤1，∴-1≤f(x)≤1。
综上，当b>1时，对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要条件是：b-1≤a≤2b。
（3）解：因为a>0,0
f(x)=ax-bx2≥-b≥-1，即f(x)≥-1；
f(x)≤1?f(1)≤1?a-b≤1，即a≤b+1；
a≤b+1?f(x)≤(b+1)x-bx2≤1，即f(x)≤1。
所以，当a>0,0
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