高考数学研究解析几何1/2
自主招生高二每日一题
2013.12.5
解析几何(20)——2011年卓越
【第13题——共15题】
已知椭圆的两个焦点为F1(-1，0)，F2(1，0)，且椭圆与直线y=x-3相切．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)过F1作两条互相垂直的直线l1，l2，与椭圆分别交于P，Q及M，N，求
四边形PMQN面积的最大值与最小值．
【解析】设椭圆方程为221(0)xyabab????,因为它与直线3yx??只有一个公共点,
所以方程组
22
221,
3.
xy
ab
yx
????
??
???
只有一解,整理得2222222()2330abxaxaab?????.
所以2222222(23)4((3)0,aabaab??????得223ab??.
又因为焦点为12(1,0),(1,0)FF?,所以221,ab??联立上式解得222,1ab??
所以椭圆方程为2212xy??.
高考数学研究解析几何2/2
(2)若PQ斜率不存在(或为0)时,则12221||||2
222PMQNPQMNS??????四边形
.
若PQ斜率存在时,设为(0)kk?,则MN为1k?.
所以直线PQ方程为ykxk??.设PQ与椭圆交点坐标为1122(,),(,)PxyQxy
联立方程221,2
.
xy
ykxk
????
????
?
化简得2222(21)4220kxkxk?????.
则22
1212422,2121kkxxxx???????
所以242222
1222(1)[164(21)(21)]1||1||222121kkkkkPQkxxkk????????????
同理可得2
21||222kMNk???
所以22242
224242
1||||(1)2112
4444()2(2)(21)2522252PMQNkPQMNkkkSkkkkkk???????????????四边形
242
22
1114()4()1241042
4410
kkk
kk????????
因为22
22144410241018kkkk??????
（当且仅当21k?时取等号）
所以,
22
11(0,],118
4410kk???
也所以
22
11164()[,2]129
4410kk????
所以综上所述,PMQNS四边形的面积的最小值为169,最大值为2.
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