高考数学研究解析几何1/2
自主招生高二每日一题
2013.12.17
立体几何(33)——2012年湖北
【练1】已知点),(nmE为抛物线)0(22??ppxy内一定点，过E作斜率分别为21,kk的两条
直线交抛物线于DCBA,,,，且NM,分别是线段CDAB,的中点．
（1）当0?n且121???kk时，求△EMN的面积的最小值；
（2）若???21kk（??,0?为常数），证明：直线MN过定点．
【解析】AB所在直线的方程为mnytx???)(1，其中
11
1kt?，代入pxy22?中，得
2112220yptyptnpm????，
设1122(,),(,)AxyBxy，则有1212ptyy??，从而
1211211(2)2(22)2xxtyynmtptnm????????．
则2111(,)Mptntmpt??．
CD所在直线的方程为mnytx???)(2，其中
22
1kt?，同理可得2222(,)Nptntmpt??．
-----------------------------------------5分
（1）当0?n时，(,0)Em，211(,)Mptmpt?，222(,)Nptmpt?，2111||||tptEM??，
2221||||tptEN??．
又121???kk，故121???tt，于是△EMN的面积
高考数学研究解析几何2/2
222222
12121211||||||(1)(1)2222pSEMENptttttt?????????
2242pp???，
当且仅当1||||21??tt时等号成立．
所以，△EMN的面积的最小值为2p.------------------------------------------10分
（2）
pnttttnttp
ttpk
MN??????
??
)(
1
)()(
)(
2121
222121，
MN所在直线的方程为]([)(1121
21
1mntptx
pntt
pty????????，
即mxtptpntty?????
2121)(
．------------------------------------------15分
又?????
2121
11ttkk，即?2121tttt??，代入上式，得1212()ttnyttpxmp????????，
即mpnyxpytt?????))((
21?
．
当0???py时，有0???mpnyx，即
??
???
??
?
?
?n
mx
py为方程的一组解，
所以直线MN恒过定点),(??pnm?．------------------------------------------20分
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