2013～20学年第一学期二数学
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.命题“若，则”的逆否命题是（）
A．若，则.B.若，则.
C．若，则.D.若，则.
2.设点，则“且”是“点在直线上”的（）
A．充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C．充分必要条件D.既不充分也不必要条件
来
3.若命题“”是假命题，则在下列各结论中，正确的为（）
①命题“”是真命题；②命题“”是假命题；
③命题“”是真命题；④命题“”是假命题.
A.①③B.②④C.②③D.①④
4.下列命题中的假命题是（）
A．，B.，
C．，D.，
5.抛物线的焦点到准线的距离是
A．B.C．D.
6.圆与圆的位置关系是（）
A.相交B.外切C.内切D.相离
7.双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）
A.B.C.D.
8.一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体
的表面积（单位：）为（）
A． B．
C． D．
9.设，且，则椭圆和椭圆
具有相同的（）
A．顶点B.焦点C.离心率D.长轴和短轴
10.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线
分别交于，两点，为坐标原点.若双曲线的离心率为，的面积为，
则（）
A．B.C．D.
11.若椭圆与直线交于，两点，
过原点与线段中点的直线的斜率为，则（）
A．B.C．D.
12.已知，分别为双曲线的左、右焦点，点在上，，则（）
A．B.C．D.
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分.把答案填在题中横线上）
13.命题“，”的否定是.
14.已知直线与抛物线，则“”是“直线与抛物线有两个
不同交点”的条件.
15.过原点的直线与圆相切，若切点在第二象限，则该直线方程
为.
16.若中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆过点，且长轴长是短轴长的倍，
则其标准方程为.
17.若抛物线上一点到的距离与到焦点的距离之和最小，则点
的坐标为.
18.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是
.
19.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线与抛物线分别交于，两点（点在轴上方），则.
20.已知，是圆上一动点，线段的垂直平分线交
于，则动点的轨迹方程为.
三、解答题（本大题共2个小题，每小题10分.共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21.已知两个定点，，动点满足，记动点的轨迹为.
（I）求的方程；
（II）求直线被截得的弦长.
22.已知点，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆的
上顶点，是直线与椭圆的另一个交点，.
（I）求椭圆的离心率；
（II）已知的面积为，求，的值.
高二数学
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.命题“若，则”的逆否命题是（）
A．若，则.B.若，则.
C．若，则.D.若，则.
解：选C．
2.设点，则“且”是“点在直线上”的（）
A．充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C．充分必要条件D.既不充分也不必要条件
解：选A.
来
3.若命题“”是假命题，则在下列各结论中，正确的为（）
①命题“”是真命题；②命题“”是假命题；
③命题“”是真命题；④命题“”是假命题.
A.①③B.②④C.②③D.①④
解：命题“”是假命题都是假命题都是真命题，选A.
4.下列命题中的假命题是（）
A．，B.，
C．，D.，
解：对选项B，当时不成立，选B.
5.抛物线的焦点到准线的距离是
A．B.C．D.
解：由，知p＝4
，又交点到准线的距离就是，故选C．
6.圆与圆的位置关系是（）
A.相交B.外切C.内切D.相离
解：圆，圆心，半径；
圆，圆心，半径.
圆心距，因，故两圆外切.选B.
7.双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）
A.B.C.D.
解：焦点坐标为，渐近线方程为，不妨求右焦点到渐近线的距离.
为.选D.
8.一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体
的表面积（单位：）为（）
A． B．
C． D．
解：，选D．
9.设，且，则椭圆和椭圆
具有相同的（）
A．顶点B.焦点C.离心率D.长轴和短轴
解：椭圆即，
离心率，选C.
10.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线
分别交于，两点，为坐标原点.若双曲线的离心率为，的面积为，
则（）
A．B.C．D.
解：由已知得，，，渐近线方程为.而抛物线的准线方程为，于是，,从而的面积为，
.选C．
11.若椭圆与直线交于，两点，
过原点与线段中点的直线的斜率为，则（）
A．B.C．D.
解：设，，的中点，
，
，，.
由，得，.选D.
12.已知，分别为双曲线的左、右焦点，点在上，，则（）
A．B.C．D.
解：记，则
将（1）式平方，得（3）
（2）（3）得.选B.
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分.把答案填在题中横线上）
13.命题“，”的否定是.
解：，或写成：，
14.已知直线与抛物线，则“”是“直线与抛物线有两个
不同交点”的条件.
解：直线与抛物线有两个不同交点方程组有两组不同的实数解
方程有两个不同的实根
且，故填必要而不充分条件.
15.过原点的直线与圆相切，若切点在第二象限，则该直线方程
为.
解：圆，该直线方程为.
16.若中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆过点，且长轴长是短轴长的倍，
则其标准方程为.
解：或
17.若抛物线上一点到的距离与到焦点的距离之和最小，则点
的坐标为.
解：根据抛物线定义。问题转化为在抛物线上求一点，使得到的距离与到准线的距离之和最小，过作准线的垂线，则垂线与抛物线的交点为所求，为.
18.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是
.
解：棱长为的正方体中挖去一个底面半径为高为的倒立的圆锥，
它的体积为.
19.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线与抛物线分别交于，两点（点在轴上方），则.
解法一：记，，准线为，分别过，作，，
则，，再过作于.在中，，，，于是，，故所求为.
解法二：
，，
，，故所求为.
20.已知，是圆上一动点，线段的垂直平分线交
于，则动点的轨迹方程为.
解：连结，利用中垂线的性质，有，
，
根据椭圆定义知动点的轨迹是以，为焦点的椭圆.，.又，于是
.故方程为（也可写成）
三、解答题（本大题共2个小题，每小题10分.共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21.已知两个定点，，动点满足，记动点的轨迹为.
（I）求的方程；
（II）求直线被截得的弦长.
解：（I）设，1分
由，得，3分
化简得.5分
（II），即.6分
是以为圆心，为半径的圆.7分
，8分
弦长为.10分
或，6分
8分
由两点间距离公式，得弦长为.10分
22.已知点，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆的
上顶点，是直线与椭圆的另一个交点，.
（I）求椭圆的离心率；
（II）已知的面积为，求，的值.
解：（I）由题意知为正三角形，1分
，.3分
（II）直线的方程为4分
（1）5分
由，得，.
代入（1）中得，
或，
得，..（或用弦长公式求）7分
由的面积为，得
，，8分
（或，）
解得，，.10分
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