延庆县2013—2014学年度第一学期期末考试
高二数学（理科）2014.1
试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共150分。考试时间120分钟。
第卷（选择题共分）的倾斜角是
Ａ. Ｂ． Ｃ． Ｄ．
２.“”是“直线平行于直线”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C充分必要条件D.既不充分也不必要条件
为圆的弦的中点，则直线的方程是
A. B.
Ｃ. D.
4.已知命题,.若命题是假命题,则实数的取值范围是
A.B.
C.D.
5.某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱
的长度是
Ａ.B.
C.D.
6．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，则②若，则
③若，则④若，则
其中正确命题的序号是
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④与且在同一坐标系中所表示的曲线可能是
A．B．C．D．
8．已知关于面的对称点为，而关于轴对称的点为，则Ａ． B．C． D．
9.点在抛物线上，点满足恒成立，则的取值范围是
Ａ.B.C.D.
10.下列命题中真命题的个数是
①若是空间任意四点，则有；
②在四面体中，若，则；
③在四面体中点，且满足.
则是锐角三角形
④对空间任意点与不共线的三点，若
（其中且），则四点共面.
A．B．C．D．
第卷（选择题共分）三点共线则的值为________________.
12.直线被曲线所截得的弦长等于.
13.已知双曲线的离心率为，一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为把正方形沿对角线折起,当以四点为和平面所成的角的大小为 ．
15.已知，则以为邻边的平行四边形的面积为．
16.如图，把椭圆的长轴分成等份，
过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于
七个点，是椭圆的一个焦点，
则．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）
17.（本小题满分12分）
已知直线和直线的交点为，分别求满足下列条件的直线方程.
（Ⅰ）直线过点且到点和点距离相等；；
（Ⅱ）直线过点且在两坐标轴上的截距之和为.
18．（本小题满分10分）
已知直角坐标平面上点和圆：，动点到圆的切线长与的比等于常数.求动点的轨迹方程，说明它表示什么曲线.
19.（本小题满分12分）
已知抛物线的顶点在原点，经过点，其焦点在轴上，直线交抛物线于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交抛物线于点．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）证明：抛物线在点处的切线与平行.
20．（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，底面是边长为为正方形，，
平面，为棱的中点．
（Ⅰ）平面；
（Ⅱ）平面；
（）的体积．
21．（本小题满分12分）
如图直角梯形中，，，
平面，,分别以为轴、轴、
轴建立直角坐标系．
（Ⅰ）求与夹角的余弦值；
（Ⅱ）求与平面夹角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆:的离心率为，两个焦点分别为和,椭圆上一点到和的距离之和为．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设点是椭圆的上顶点，点是椭圆上；
异于点的两点，且,求证直线经过轴上一定点．
延庆县2013—2014学年度第一学期期末考试参考答案
高二数学（理科）2014.1
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C A D A C B C D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）
11.12.13.14.15.16．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）
17.（本小题满分10分）
已知直线和直线的交点为，分别求满足下列条件的直线方程.
（Ⅰ）直线过点且到点和点距离相等；
（Ⅱ）直线过点且在两坐标轴上的截距之和为.
解：，解得交点坐标为，………………………2分
因为直线过点且到点和点距离相等
所以直线平行与直线,或经过的中点.
由已知得，的中点,且…………………5分
直线的方程为或
即或………………………………7分
（解法二：设直线的方程为，利用点到直线距离公式）
（Ⅱ）设直线的方程为，
令，得，令，得，…………………9分
依题意，整理的，解得或.
所以直线的方程为或.
即或.………………………………12分
18．（本小题满分10分）
已知直角坐标平面上点和圆：，动点到圆的切线长与的比等于常数.求动点的轨迹方程，说明它表示什么曲线.
解：切圆于，
则动点组成的集合是：.…………2分
∵圆的半径，∴.………4分
设点的坐标为，则…………6分
整理得.
当时，方程为，它表示过点且与轴垂直的直线；…8分
当时，方程化为，
它表示圆心在，半径为的圆.…………………10分
19.（本小题满分12分）
已知抛物线的顶点在原点，经过点，其焦点在轴上，直线交抛物线于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交抛物线于点．
（Ⅰ）求抛物线的方程.
（Ⅱ）证明：抛物线在点处的切线与平行；
解：依题意，设抛物线的方程为，
（Ⅰ）∵点在抛物线上，∴.
∴抛物线的方程为…………………4分
（Ⅱ）如图，设，
把代入得.
由韦达定理得
∴.∴点的坐标为(.……………8分
设抛物线在点处的切线的方程为，
将代入上式得，
∵直线与抛物线相切，
∴.即
∴.∴抛物线在点处的切线与平行.…………………………12分
20．（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，底面
是边长为为正方形，，平面，
为棱的中点．
（Ⅰ）平面；
（Ⅱ）平面；
（）的体积．
（Ⅰ）证明：连接与相交于点，连结．
∵四边形为正方形，∴为中点．
∵为棱的中点．∴．………………………………3分
∵平面，平面，
∴平面．………………………………………………4分
（Ⅱ）证明：平面，所以．………………5分
∵四边形为正方形，所以，
∴平面．………………………………7分
∴平面平面．………………………………8分
（Ⅲ）解：取中点,连结,∵,∴．
∵平面平面,∴平面………………10分
又∵平面，∴.∴为等腰直角三角形
∵,∴
.∴………………12分
21．（本小题满分12分）
如图直角梯形中，，，
平面，,分别以为轴、轴、
轴建立直角坐标系．
（Ⅰ）求与夹角的余弦值；
（Ⅱ）求与平面夹角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角．
解：如图所示：.
∴，∴．
与夹角的余弦值．……………………………………3分
（Ⅱ）①设平面的法向量，
∵，
∴.
∴，即，∴.…………6分
又∵，∴
∴求与平面夹角的正弦值为；……………………………………8分
（Ⅲ）∵平面，∴为平面的法向量.
又∵平面的法向量.
∴.
二面角的余弦值.……………………………………12分
22．（本小题满分12分）
已知椭圆:的离心率为，两个焦点分别为和,椭圆上一点到和的距离之和为．
(Ⅰ)求椭圆的方程
(Ⅱ)设点是椭圆的上顶点，点是椭圆上
异于点的两点，且,求证直线经
过轴上一定点.
解：（）设椭圆的半焦距为则解得.
所求椭圆的方程为：(Ⅱ)显然直线的斜率存在，设直线的方程为
联立方程组，消去整理得.
设，则
∴，
………………………8分
∵， 且，
∴，
即
∴.解得或（舍去）
∴直线直线经过轴上一定点.……………………………
正（主）视图
侧（左）视图
俯视图
3
2
2
2
3
2
C
B
A
O
S
y
x
z
x
A
y
1
1
2
M
N
B
O
C
B
A
O
S
y
x
z
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