高考数学研究函数的表达式1/5
2015一轮复习经典——（2）
高端视野:函数表达式
【练1】已知函数f(x)＝???
??2x，x>0，
x＋1，x≤0.若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值为()
A．－3B．－1
C．1D．3
【练2】已知函数f????x－
1
x＝x2＋
1
x2，则f(3)＝()
A．8B．9
C．11D．10
【练3】(2013年高考安徽卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，
f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.
【练4】已知f????
2
x＋1＝lgx，求f(x)；
(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)；
(3)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求函数f(x)的解析式．
【练5】(2014·邯郸模拟)函数f(x)对于任意实数x满足f(x＋2)＝
1
f?x?，若f(1)＝－5，
则f(f(5))等于()
A．2B．5
C．－5D．－15
【练6】(2014·沈阳二模)定义两种运算：a⊕b＝a2－b2，a?b＝?a－b?2，其中a，
b∈R，则函数f(x)＝
2⊕x
?x?2?－2的解析式为________．
【练7】若g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝
1－x2
x2(x≠0)，则f??
?
??
?1
2等于()
A．1B．3
C．15D．30
高考数学研究函数的表达式2/5
【练8】已知f(2x＋1)＝3x－2，且f(a)＝4，则a的值是________．
【练9】设函数f(x)＝f??
?
??
?1
xlgx＋1，则f(10)的值为__________．
【练10】(2014·天津一中模拟)已知?x∈R，f(1＋x)＝f(1－x)，当x≥1
时，f(x)＝ln(x＋1)，则当x<1时，f(x)＝________.
【练11】函数f(x)对一切实数x，y均有f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x成立，
且f(1)＝0.
(1)求f(0)的值；
(2)求f(x)的解析式．
【练12】已知f(x)＝x2－1，g(x)＝???
??x－1，x＞0，
2－x，x＜0.
(1)求f[g(2)]和g[f(2)]的值；
(2)求f[g(x)]和g[f(x)]的表达式．
高考数学研究函数的表达式3/5
【练1】解析：当a>0时，由f(a)＋f(1)＝0得2a＋2＝0，故此时不存在实数a满足条件；当
a≤0时，由f(a)＋f(1)＝0得a＋1＋2＝0，解得a＝－3，满足条件，故选A.
答案：A
【练2】解析：∵f????x－
1
x＝????x－
1
x2＋2，∴f(3)＝9＋2＝11.
答案：C
【练3】解析：设－1≤x≤0，∴0≤x＋1≤1，
∴f(x)＝12f(x＋1)＝12(x＋1)[1－(x＋1)]
＝－12x(x＋1)．
答案：－12x(x＋1)
【练4】解析：(1)令t＝
2
x＋1，则x＝
2
t－1，
∴f(t)＝lg2t－1，即f(x)＝lg2x－1.
(2)设f(x)＝ax＋b，则
3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b＝2x＋17，则有a＝2，b＋
5a＝17，
∴a＝2，b＝7，故f(x)＝2x＋7.
(3)x∈(－1,1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．①
令x＝－x得，2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②
由①②消去f(－x)，得
f(x)＝23lg(x＋1)＋13lg(1－x)，x∈(－1,1)．
【练5】解析：f(5)＝
1
f?3?＝f(1)＝－5，f(－5)＝
1
f?－3?＝f(－1)＝
1
f?1?＝－
1
5.
答案：D
【练6】解析：由2⊕x＝4－x2，x?2＝?x－2?2＝|x－2|.
所以f(x)＝4－x
2
|x－2|－2，
由???－2≤x≤2，|x－2|≠2，解得－2≤x＜0或0＜x≤2，由此可得x－2≤0，则f(x)＝
高考数学研究函数的表达式4/5
4－x2
－x，x∈[－2,0)∪(0,2]．
答案：f(x)＝4－x
2
－x，x∈[－2,0)∪(0,2]
【练7】解析令1－2x＝
1
2，∴x＝
1
4，
f??????12＝
1－??????142
??
?
??
?1
4
2
＝15.
答案C
【练8】解析令2x＋1＝t，则x＝
t－1
2，∴f(t)＝
3t－3
2－2，即f(x)＝
3
2x
－
7
2，又
3
2a－
7
2＝4，∴a＝5.
答案5
【练9】解析分别令x＝10，
1
10，
得
??
??
?f?10?＝f
??
?
??
?1
10＋1，
f??????110＝－f?10?＋1，
两式相加，得f(10)＝1.
答案1
【练10】解析由f(1＋x)＝f(1－x)，可知函数关于x＝1对称当x<1时，
2－x>1，∴f(x)＝f(2－x)＝ln[(2－x)＋1]＝ln(3－x)．
答案ln(3－x)
【练11】解(1)由已知f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x.
令x＝1，y＝0，得f(1)－f(0)＝2.
又∵f(1)＝0，∴f(0)＝－2.
(2)令y＝0，得f(x)－f(0)＝(x＋1)x.
高考数学研究函数的表达式5/5
∴f(x)＝x2＋x－2.
【练12】解(1)由已知，g(2)＝1，f(2)＝3，
∴f[g(2)]＝f(1)＝0，g[f(2)]＝g(3)＝2.
(2)当x＞0时，g(x)＝x－1，
故f[g(x)]＝(x－1)2－1＝x2－2x；
当x＜0时，g(x)＝2－x，
故f[g(x)]＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3；
∴f[g(x)]＝
??
??
?x2－2x，x＞0，
x2－4x＋3，x＜0.
当x＞1或x＜－1时，f(x)＞0，
故g[f(x)]＝f(x)－1＝x2－2；
当－1＜x＜1时，f(x)＜0，
故g[f(x)]＝2－f(x)＝3－x2.
∴g[f(x)]＝
??
??
?x2－2，x＞1或x＜－1，
3－x2，－1＜x＜1.
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