高考数学研究函数周期性1/6
2015一轮复习经典——（9）
高端视野:函数周期性
【练1】已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝????
1
2x；当x<4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log23)
＝()
A.124B.112C.18D.38
【练2】(2014年宁夏三市联考)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2
时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为()
A．6B．7
C．8D．9
【练3】(2014年银川质检)已知定义在R上的偶函数满足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且当x∈[0,2]
时，y＝f(x)单调递减，给出以下四个命题：
①f(2)＝0；
②x＝－4为函数y＝f(x)图象的一条对称轴；
③函数y＝f(x)在[8,10]上单调递增；
④若方程f(x)＝m在[－6，－2]上的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－8
以上命题中所有正确命题的序号为________．
【练4】(2013·青岛二模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋2)＝
f(x)对任意x∈R成立，当x∈(－1,0)时f(x)＝2x，则f??????
5
2＝________.
【练5】(2013·吉安模拟)已知偶函数f(x)对任意x∈R都有f(x－2)＝－f(x)，且当
x∈[－1,0]时f(x)＝2x，则f(2013)＝()．
A．1B．－1
C．12D．－12
【练6】已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)
时，f(x)＝2x2，则f(7)等于()
A．－2B．2
C．－98D．98
【练7】(2013·湖北卷)x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数
f(x)＝x－[x]在R上为()
高考数学研究函数周期性2/6
A．奇函数B．偶函数
C．增函数D．周期函数
【练8】(2014·江西盟校二联)函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)
＝x－1，则不等式xf(x)＞0在[－1，3]上的解集为()
A．(1,3)B．(－1,1)
C．(－1,0)∪(1,3)D．(－1,0)∪(0,1)
【练9】设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－
2,1]上的图象，则f(2011)＋f(2012)＝()
A．3B．2
C．1D．0
【练10】(2014·辽宁大连)设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x
∈[0,1]时，f(x)＝x3.又函数g(x)＝|xcos(πx)|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在[－
1
2，
3
2]上的零点个数为()
A．5B．6
C．7D．8
【练11】(2014·济宁高三一模)已知定义域为R的函数f(x)既是奇函数，又是周期
为3的周期函数，当x∈(0，
3
2)时，f(x)＝sinπx，则函数f(x)在区间[0,6]
上的零点个数是________．
【练12】设函数f(x)是奇函数且周期为3，f(－1)＝－1，则f(2011)＝________
【练13】设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则
f(99)＝________.
【练14】设奇函数f(x)的定义域为R，最小正周期T＝3，若f(1)≥1，f(2)＝
2a－3
a＋1，
则a的取值范围是________．
高考数学研究函数周期性3/6
【练15】已知定义在R上的函数y＝f(x)满足条件f??
?
??
?x＋3
2＝－f(x)，且函数y
＝f??????x－34为奇函数，给出以下四个命题：
①函数f(x)是周期函数；
②函数f(x)的图象关于点??????－34，0对称；
③函数f(x)为R上的偶函数；
④函数f(x)为R上的单调函数．
其中真命题的序号为________．
【练16】若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，
给出下列关于f(x)的判断：
①f(x)是周期函数；②f(x)关于直线x＝1对称；
③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)在[1,2]上是减函数；
⑤f(2)＝f(0)．
其中正确的序号是________．
【练17】已知定义在R上的函数y＝f(x)满足条件f??
?
??
?x＋3
2＝－f(x)，且函数y＝
f??????x－
3
4为奇函数，给出以下四个命题：①函数f(x)是周期函数；②函数
f(x)的图象关于点??????－
3
4，0对称；③函数f(x)为R上的偶函数；④函数f(x)
为R上的单调函数．其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序
号)．
【练1】解析：由于1
1
23＋log23＝????
1
2
3·????12log23＝18·2－log23＝18·2log2
1
3＝
1
8·
1
3＝
1
24，故选A.
答案：A
【练2】解析：由f(x)＝0，x∈[0,2)可得x＝0或x＝1，即在一个周期内，函数的周象与x
轴有两个交点，在区间[0,6)上共有6个交点，当x＝6时，也是符合要求的交点，
故共有7个不同的交点．
答案：B
高考数学研究函数周期性4/6
【练3】解析：令x＝－2，得f(2)＝f(－2)＋f(2)，即f(－2)＝0.又函数f(x)是偶函数，故f(2)
＝0，①正确；根据f(2)＝0可得f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期是4，由于偶函
数的图象关于y轴对称，故x＝－4也是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴，②正确；
根据函数的周期性可知，函数f(x)在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f(x)
的图象关于直线x＝－4对称，故如果方程f(x)＝m在区间[－6，－2]上的两根为x1，
x2，则
x1＋x2
2＝－4，即x1＋x2＝－8，④正确．故正确命题的序号为①②④.
答案：①②④
【练4】解析因为f(x＋2)＝f(x)，故f??
?
??
?5
2＝f??
?
??
?1
2＝－f??
?
??
?－1
2＝1.
答案1
【练5】解析由f(x－2)＝－f(x)得f(x－4)＝f(x)，所以函数的周期是4，故f(2013)
＝f(4×503＋1)＝f(1)＝f(－1)＝2－1＝
1
2.
答案C
【练6】解析∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的函数．
∴f(7)＝f(2×4－1)＝f(－1)．又∵f(x)在R上是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．∴f(－1)＝－f(1)．而当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，
∴f(1)＝2×12＝2.∴f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.故选A.
答案A
【练7】解析当x∈[0,1)时，画出函数图象(图略)，再左右扩展知f(x)
为周期函数．故选D.
答案D
【练8】解析：f(x)的图象如图所示．
当x∈(－1,0)时，由xf(x)＞0，得x∈(－1,0)；
当x∈(0,1)时，由xf(x)＞0，得x∈?；
当x∈(1,3)时，由xf(x)＞0，得x∈(1,3)．
∴x∈(－1,0)∪(1,3)，故选C.
高考数学研究函数周期性5/6
答案：C
【练9】解析：由于f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，所以f(2011)＋f(2
012)＝f(670×3＋1)＋f(671×3－1)＝f(1)＋f(－1)，而由图象可知f(1)＝1，
f(－1)＝2，所以f(2011)＋f(2012)＝1＋2＝3.
答案：A
【练10】解析：根据题意，函数y＝f(x)是周期为2的偶函数，且当0≤x≤1时，
f(x)＝x3，则当－1≤x≤0时，f(x)＝－x3，且g(x)＝|xcos(πx)|，所以当x
＝0时，f(x)＝g(x)．
当x≠0时，若0
即x2＝|cos(πx)|.
同理可以得到在区间[－12，0)，(12，1]，(1，32]上的关系式都是上式，在同一
坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象，如图所示，有5个根．所以共有
6个．
答案：B
【练11】解析：由f(x)是定义域为R的奇函数，可知f(0)＝0.因为f(x＋3)＝f(x)，
所以f(3)＝0.令x＝－
3
2，得f(
3
2)＝f(－
3
2)，所以f(
3
2)＝0.又当x∈(0，
3
2)时，
f(x)＝sinπx，所以f(1)＝0，f(2)＝f(3－1)＝f(－1)＝－f(1)＝0，则f(x)在区
间[0,3]上的零点有5个．由周期性可知，f(x)在区间(3,6]上有4个零点，
故f(x)在区间[0,6]上的零点个数是9.
答案：9
【练12】解析因为f(－x)＝－f(x)，f(x＋3)＝f(x)，f(－1)＝－1，所以f(1)＝1，f(2
011)＝f(3×670＋1)＝f(1)＝1.
答案1
【练13】解析由f(x)·f(x＋2)＝13得f(x＋2)＝
13
f?x?，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝
13
f?x＋2?＝f(x)．
高考数学研究函数周期性6/6
∴f(x)是以4为周期的周期函数．
∴f(99)＝f(25×4－1)＝f(－1)＝13f?1?＝132.
答案132
【练14】答案??
?
??
?－1，2
3
【练15】答案①②③
【练16】解析∵f(x＋1)＝－f(x)，
∴f(x)＝－f(x＋1)＝f(x＋1＋1)＝f(x＋2)，
∴f(x)是周期为2的函数，①正确．
又∵f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)，∴f(x)＝f(2－x)，
∴y＝f(x)的图象关于x＝1对称，②正确．
又∵f(x)为偶函数且在[－1,0]上是增函数，
∴f(x)在[0,1]上是减函数．又∵对称轴为x＝1，
∴f(x)在[1,2]上为增函数，f(2)＝f(0)，故③④错误，⑤正确．
答案①②⑤
【练17】解析①由f??
?
??
?x＋3
2＝－f(x)，得f(x＋3)＝－f??
?
??
?x＋3
2＝f(x)，所以①正确．②
由y＝f??
?
??
?x－3
4为奇函数，得f(x)图象关于点??
?
??
?3
4，0对称，所以②不正确．③
由f??
?
??
?－x－3
4＝－f??
?
??
?x－3
4，得f(x)＝－f??
?
??
?－x－3
2，又f??
?
??
?x＋3
2＝－f(x)，所以
f??????－x－
3
2＝f??
?
??
?x＋3
2，所以f(x)是偶函数，③正确．由③正确知④不正确．
答案①③
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