高考数学研究幂函数1/6
2015一轮复习经典——（11）
高端视野:幂函数
【练1】(2014年惠州模拟)已知幂函数y＝f(x)的图象过点????
1
2，
2
2，则log4f(2)的值为()
A.14B．－14
C．2D．－2
【练2】设函数f(x)＝x－
1
x，对任意x∈[1，＋∞)，f(2mx)＋2mf(x)<0恒成立，则实数m的
取值范围是()
A.????－∞，－12B.????－12，0
C.????－12，12D.????0，12
【练3】幂函数的图像过点??
?
??
?2，1
4，则它的单调递增区间是()．
A．(0，＋∞)B．[0，＋∞)
C．(－∞，0)D．(－∞，＋∞)
【练4】若a＜0，则0.5a,5a,5－a的大小关系是()．
A．5－a＜5a＜0.5aB．5a＜0.5a＜5－a
C．0.5a＜5－a＜5aD．5a＜5－a＜0.5a
【练5】(2014·抚州、高安模拟)已知幂函数f(x)＝xα，当x＞1时，恒有f(x)＜x，
则α的取值范围是()．
A．(0,1)B．(－∞，1)
C．(0，＋∞)D．(－∞，0)
【练6】已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点??
?
??
?
2，
2
2，则f(4)的值为
()
A．16B.116
C.12D．2
高考数学研究幂函数2/6
【练7】函数y＝x
1
3
的图象是()
A.B.
C.D.
【练8】(2013·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P
是函数y＝
1
x(x>0)图象上一动点．若点P，A之间的最短距离
为22，则满足条件的实数a的所有值为________．
【练9】(2014·天津高三月考)已知幂函数f(x)＝(t2－t＋1)·(t∈N)是偶函
数，则实数t的值为()
A．0B．－1或1
C．1D．0或1
【练10】(2014·滨州质检)若三个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xd，在同一坐标系中的
图象如图所示，则a，b，d的大小关系是()
A．d＞b＞a
B．a＞b＞d
C．a＞d＞b
D．d＞a＞b
高考数学研究幂函数3/6
【练11】(2014·北京西城一模)已知函数f(x)＝???
??，0≤x≤c，
x2＋x，－2≤x＜0，其中c＞0.
那么f(x)的零点是________；若f(x)的值域是[－
1
4，2]，则c的取值范围
是________．
【练12】已知点??
?
??
?1
2，2在幂函数y＝f(x)的图象上，点??
?
??
?－2，1
4在幂函数y＝g(x)
的图象上，则f(2)＋g(－1)＝________.
【练13】已知函数f(x)＝xα(0<α<1)，对于下列命题：
①若x>1，则f(x)>1；
②若0
③当x>0时，若f(x1)>f(x2)，则x1>x2；
④若0
1
2
.
其中正确的命题序号是________．
高考数学研究幂函数4/6
【练1】解析：设f(x)＝xa，由其图象过点????
1
2，
2
2得?
???12a＝2
2＝?
???121
2?a＝
1
2，故log4f(2)＝
log42
1
2＝
1
4.故选A.
答案：A
【练2】解析：对任意x∈[1，＋∞)，f(2mx)＋2mf(x)<0恒成立，即2mx－
1
2mx＋2m?
???x－1x<0
在x∈[1，＋∞)上恒成立，即
8m2x2－?1＋4m2?
2mx<0在x∈[1，＋∞)上恒成立，故
m<0，因为8m2x2－(1＋4m2)>0在x∈[1，＋∞)上恒成立，所以x2>
1＋4m2
8m2在x∈
[1，＋∞)上恒成立，所以1>
1＋4m2
8m2，解得m<－
1
2或m>
1
2(舍去)，故m<－
1
2.
答案：A
【练3】解析设幂函数y＝xα，则2α＝
1
4，解得α＝－2，所以y＝x－2，故函数y
＝x－2的单调递增区间是(－∞，0)．
答案C
【练4】解析5－a＝??
?
??
?1
5a，因为a＜0时，函数y＝xa单调递减，且
1
5＜0.5＜5，所
以5a＜0.5a＜5－a.
答案B
【练5】解析当x＞1时，恒有f(x)＜x，即当x＞1时，函数f(x)＝xα的图像在y
＝x的图像的下方，作出幂函数f(x)＝xα在第一象限的图像，由图像可
知α＜1时满足题意，故选B.
答案B
【练6】解析由已知，得
2
2＝2α，即2α＝2
－
1
2
，∴α＝－
1
2.
∴f(x)＝x
－12
.∴f(4)＝4
－12
＝12.
答案C
【练7】解析由幂函数的性质知：①图象过(1,1)点，可排除A、D；
②当指数0＜α＜1时为增速较缓的增函数，故可排除C，从
而选B.
高考数学研究幂函数5/6
答案B
【练8】解析设P(t，
1
t)，其中t>0，PA2＝(t－a)2＋(
1
t－a)2＝t2＋
1
t2－
2a(t＋
1
t)＋2a2，即PA2＝(t＋
1
t)2－2a(t＋
1
t)＋2a2－2，令m＝t
＋
1
t≥2，所以PA2＝m2－2am＋2a2－2＝(m－a)2＋a2－2，当
PA取得最小值时，
??
??
?a≤2，
22－4a＋2a2－2＝?22?2，或???
??a>2，
a2－2＝?22?2，
解得a＝－1或a＝10.
答案－110
【练9】解析：因为函数为幂函数，所以t2－t＋1＝1，即t2－t＝0，所以t＝0或
t＝1.当t＝0时，函数为f(x)＝为奇函数，不满足条件．当t＝1时，
f(x)＝为偶函数，所以t＝1.
答案：C
【练10】解析：由幂指数在(1，＋∞)上沿逆时针方向变大，容易确定三个幂函
数y＝xd，y＝xb，y＝xa对应的幂指数依次变大，即a＞b＞d，故应选
B.
答案：B
【练11】解析：当0≤x≤c时，由＝0得x＝0.当－2≤x＜0时，由x2＋x＝0，
得x＝－1，所以函数零点为－1和0.当0≤x≤c时，f(x)＝，所以
0≤f(x)≤c；当－2≤x＜0时，f(x)＝x2＋x＝(x＋
1
2)2－
1
4，所以此时－
1
4
≤f(x)≤2.若f(x)的值域是[－
1
4，2]，则有c≤2，即0＜c≤4，即c的取
值范围是(0,4]．
答案：－1和0(0,4]
【练12】解析设f(x)＝xm，g(x)＝xn，则由2＝??
?
??
?1
2m得m＝－1，由
1
4＝(－2)n，
得n＝－2，所以f(2)＋g(－1)＝2－1＋(－1)－2＝
3
2.
高考数学研究幂函数6/6
答案32
【练13】解析作出y＝xα(0<α<1)在第一象限内的图象，
如图所示，
可判定①②③正确，又f?x?x表示图象上的点与原点连线
的斜率，
当0
1
>f?x2?x
2
.
故④错．
答案①②③
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