高考数学研究对数函数1/10
2015一轮复习经典——（15）
高端视野:对数函数
【练1】若x∈(e－1,1)，a＝lnx，b＝????
1
2lnx，c＝elnx，则a，b，c的大小关系为()
A．c>b>aB．b>c>aC．a>b>cD．b>a>c
【练2】(2013年高考湖南卷)函数f(x)＝lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个
数为()
A．3B．2
C．1D．0
【练3】函数y＝log2|x|的图象大致是()
【练4】(2014年宣城模拟)若a＝
ln26
4，b＝ln2×ln3，c＝
ln2π
4，则a，b，c的大小关系是()
A．a>b>cB．c>a>b
C．c>b>aD．b>a>c
【练5】当0
1
2时，4x
A.????0，22B.????22，1
C．(1，2)D．(2，2)
【练6】两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出下列四
个函数：
f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，
则是“同形”函数的是()
A．f2(x)与f4(x)B．f1(x)与f3(x)
C．f1(x)与f4(x)D．f3(x)与f4(x)
【练7】如果log
1
2x＜log
1
2y＜0，那么()．
A．y＜x＜1B．x＜y＜1
C．1＜x＜yD．1＜y＜x
高考数学研究对数函数2/10
【练8】函数y＝1
2log(3)xa?
的定义域是??
?
??
?2
3，＋∞，则a＝______.
【练9】函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，a≠1)的图像恒过一定点是________．
【练10】(2014·湘潭模拟)已知函数f(x)＝ln
x
1－x，若f(a)＋f(b)＝0，且0＜a＜b＜1，
则ab的取值范围是________．
【练11】(2014·天津模拟)已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则
()
A．a>b>cB．a>c>b
C．b>a>cD．c>a>b
【练12】若点(a，b)在y＝lgx的图象上，a≠1，则下列点也在此图象上
的是()
A．(1a，b)B．(10a,1－b)
C．(10a，b＋1)D．(a2,2b)
【练13】(2014·湖北武昌调研)已知指数函数y＝f(x)、对数函数y＝g(x)
和幂函数y＝h(x)的图象都经过点P(
1
2，2)，如果f(x1)＝g(x2)＝
h(x3)＝4，那么x1＋x2＋x3＝()
A.76B.66
C.54D.32
【练14】(2013·辽宁卷)已知函数f(x)＝ln(1＋9x2－3x)＋1，则f(lg2)＋
f(lg
1
2)＝()
A．－1B．0
C．1D．2
高考数学研究对数函数3/10
【练15】(2013·西安模拟)已知21
2()log(3)fxxaxa???
在区间[2，＋∞)上是
减函数，则实数a的取值范围是()
A．(－∞，4]B．(－∞，4)
C．(－4,4]D．[－4,4]
【练16】若loga(a2＋1)
【练17】已知f(x)＝log2(x－2)，若实数m，n满足f(m)＋f(2n)＝3.则m
＋n的最小值是________．
【练18】(2014·衡水一模)已知loga8＜logb8＜logc8＜0，则下列关系正确的是
()
A．a＜b＜cB．b＜a＜c
C．c＜b＜aD．c＜a＜b
【练19】(2014·岳阳二模)定义：函数y＝f(x)，x∈D，若存在常数C，对于任意x1
∈D，存在唯一的x2∈D，使得
f?x1?＋f?x2?
2＝C，则称函数f(x)在D上的“均
值”为C，已知f(x)＝lgx，x∈[10,100]，则函数f(x)＝lgx在[10,100]上的
均值为()
A.32B.34
C.110D．10
【练20】(2014·西安市八校联考)函数y＝log12(x2－kx＋3)在[1,2]上的值恒为正数，
则k的取值范围是()
A．22
C．3
【练21】(2014·新创题)定义在R上的奇函数f(x)满足：当x＞0时，f(x)＝2014x＋
2014logx，则方程f(x)＝0的实根个数为()
A．1B．2
C．3D．4
高考数学研究对数函数4/10
【练22】(2014·石家庄一模)定义：区间[x1，x2](x1＜x2)的长度为x2－x1.已知函数
0.5logyx?的定义域为[a，b]，值域为[0,2]，则区间[a，b]的长度的最大
值为________．
【练23】(2014·潍坊检测)函数f(x)＝ln
1＋ax
1＋2x(a≠2)为奇函数，则实数a等于
________．
【练24】(2014·能力题)设a＞1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a,2a]，都
有y∈[a，a2]满足方程logax＋logay＝c.这时，a的取值的集合为________．
【练25】函数y＝ln(1－x)的图象大致为________．
【练26】若实数x满足log3x＝1＋sinθ，则|x－1|＋|x－9|的值为________．
【练27】已知函数f(x)＝lgx．若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝________.
【练28】函数21
2()log(23)fxxx???
的单调递增区间是________．
【练29】已知表中的对数值有且只有一个是错误的.
x35689
lgx2a－ba＋c－11＋a－b－c3(1－a－c)2(2a－b)
试将错误的对数值加以改正为________．
高考数学研究对数函数5/10
【练1】解析：依题意得a＝lnx∈(－1,0)，b＝????
1
2lnx∈(1,2)，c＝x∈(e－1,1)，因此b>c>a，
选B.
答案：B
【练2】解析：画出两函数的大致图象，可得两图象的交点个数为2.
答案：B
【练3】解析：函数y＝log2|x|＝???
??log2x，x>0，
log2?－x?，x<0，
所以函数图象为A.
答案：A
【练4】解析：∵ln6>lnπ>1，∴a>c，排除B，C；b＝ln2·ln3
ln2＋ln3
22＝
ln26
4＝a，排
除D，故选A.[来源:学_科_网Z_X_X_K]
答案：A
【练5】解析：利用指数函数和对数函数的性质求解．
∵04x>1，∴0
取a＝12，x＝12，则有412＝2，log1212＝1，显然4x
答案：B
【练6】解析：因为f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，所以f2(x)＝log2(x＋2)，沿着x轴先向右平移
2个单位得到y＝log2x的图象，然后再沿着y轴向上平移1个单位可得到f4(x)＝
log2(2x)＝1＋log2x，根据“同形”函数的定义，f2(x)与f4(x)为“同形”函数．f3(x)
＝log2x2＝2log2|x|与f1(x)＝2log2(x＋1)不“同形”，故选A.
答案：A
【练7】解析∵log
1
2x＜log
1
2y＜log
1
21，又y＝log
1
2x是(0，＋∞)上的减函数，∴x
＞y＞1.
答案D
【练8】解析要使函数有意义，则3x－a＞0，即x＞
a
3，
∴a3＝23，∴a＝2.
答案2
【练9】解析当x＝2时y＝2.
答案(2,2)
高考数学研究对数函数6/10
【练10】解析由题意可知ln
a
1－a＋ln
b
1－b＝0，
即ln??????a1－a×b1－b＝0，从而a1－a×b1－b＝1，化简得a＋b＝1，故ab＝a(1
－a)＝－a2＋a＝－??????a－122＋14，
又0＜a＜b＜1，∴0＜a＜12，
故0＜－??????a－122＋14＜14.
答案??????0，14
【练11】解析a＝log23.6＝log43.62＝log412.96，
∵log412.96>log43.6>log43.2，
∴a>c>b，故选B.
答案B
【练12】解析∵点(a，b)在函数y＝lgx的图象上，
∴b＝lga，则2b＝2lga＝lga2，
故点(a2,2b)也在函数y＝lgx的图象上．
答案D
【练13】解析
高考数学研究对数函数7/10
答案D
【练14】解析由于f(x)＋f(－x)＝ln(1＋9x2－3x)＋1＋ln(1＋9x2＋
3x)＋1＝2，所以f(lg2)＋f(lg
1
2)＝f(lg2)＋f(－lg2)＝2，故选D.
答案D
【练15】解析∵y＝x2－ax＋3a＝(x－
a
2)2＋3a－
a2
4在[
a
2，＋∞)上单调
递增，故
a
2≤2?a≤4，令g(x)＝x2－ax＋3a，g(x)min＝g(2)＝22
－2a＋3a>0?a>－4，故选C.
答案C
【练16】解析∵a2＋1>1，loga(a2＋1)<0，∴0
又loga2a<0，∴2a>1，∴a>12.
∴实数a的取值范围是(12，1)．
答案(12，1)
【练17】解析∵log2(m－2)＋log2(2n－2)＝log2[(m－2)(2n－2)]＝3，
∴(m－2)(2n－2)＝23＝8，且m－2>0,2n－2>0，∴4＝(m－2)(n
－1)≤??
?
??
?m－2＋n－1
22.
∴m＋n≥7，故填7.
答案7
【练18】解析：由loga8＜logb8＜logc8＜0，得
1
log8a＜
1
log8b＜
1
log8c＜0，
所以log8c＜log8b＜log8a，
所以c＜b＜a.故选C.
答案：C
高考数学研究对数函数8/10
【练19】解析：由题意，当x1∈[10,100]时，x2也要在[10,100]上，且
lgx1＋lgx2
2＝
lg?x1x2?
2＝C，即x1x2是常数．
令x2＝mx
1
，因为1100≤1x
1
≤110，所以m100≤mx
1
≤m10.
又10≤mx
1
≤100，所以
??
??
?m100≥10，
m
10≤100.
所以m＝1000.
所以C＝
f?x1?＋f?1000x
1
?
2＝
lgx1＋lg1000x
1
2
＝lg10002＝32.
故选A.
答案：A
【练20】解析：∵log12(x2－kx＋3)>0在[1,2]上恒成立，
∴0
∴
??
??
?k
k>x＋2x
在[1,2]上恒成立
又当1≤x≤2时，y＝x＋3x∈[23，4]，
y＝x＋2x∈[22，3]．
∴3
答案：D
【练21】解析：当x＞0时，若x→＋∞，则f(x)→＋∞，当x→0，f(x)→－∞，f(x)
在定义域(0，＋∞)上为增函数，又由于x＞0时，f(x)为连续函数，所以
图象一定与x轴只有一个交点，又由于函数f(x)为奇函数，所以当x＜0
时，图象与x轴也有一个交点，又由于奇函数一定通过原点，故方程f(x)
＝0共有3个根，故选C.
答案：C
高考数学研究对数函数9/10
【练22】解析：由0≤|log0.5x|≤2解得
1
4≤x≤4，所以[a，b]长度的最大值为4－
1
4＝
15
4.
答案：154
【练23】解析：依题意有f(－x)＋f(x)＝ln
1－ax
1－2x＋ln
1＋ax
1＋2x＝0，即
1－ax
1－2x·
1＋ax
1＋2x＝1，
故1－a2x2＝1－4x2，解得a2＝4，但a≠2，故a＝－2.
答案：－2
【练24】解析：由已知得y＝
ac
x，单调递减，
所以当x∈[a,2a]时，y∈[a
c－1
2，a
c－1]，
所以
??
??
?ac－1
2≥a，
ac－1≤a2
????c≥2＋loga2，c≤3，因为有且只有一个常数c符合题意，所
以2＋loga2＝3，解得a＝2，所以a的取值的集合为{2}．
答案：{2}
【练25】解析由1－x>0，知x<1，排除①、②；设t＝1－x(x<1)，因为t＝1－x
为减函数，而y＝lnt为增函数，所以y＝ln(1－x)为减函数，故选③.
答案③
【练26】解析log3x＝1＋sinθ∈[0,2]，x＝31＋sinθ∈[1,9]，|x－1|＋|x－9|＝x－1
＋9－x＝8.
答案8
【练27】解析∵f(x)＝lgx，f(ab)＝1，∴lg(ab)＝1，∴f(a2)＋f(b2)＝lga2＋lgb2
＝2lga＋2lgb＝2lg(ab)＝2.[来源:学。科。网]
答案2
【练28】解析设t＝x2－2x－3，则y＝log
1
2t.
由t＞0解得x＜－1或x＞3，
故函数的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
∴t＝x2－2x－3＝(x－1)2－4在(－∞，－1)上为减函数，
高考数学研究对数函数10/10
在(3，＋∞)上为增函数．而函数y＝log12t为关于t的减函数，所以函数f(x)
的单调增区间为(－∞，－1)．
答案(－∞，－1)
【练29】解析由2a－b＝lg3，得lg9＝2lg3＝2(2a－b)，从而lg3和lg9正确，
假设lg5＝a＋c－1错误，由
??
?1＋a－b－c＝lg6＝lg2＋lg3，
3?1－a－c?＝lg8＝3lg2，
得???lg2＝1－a－c，lg3＝2a－b，所以lg5＝1－lg2＝a＋c.
因此lg5＝a＋c－1错误，正确结论是lg5＝a＋c.
答案lg5＝a＋c
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