高考数学研究函数与方程1/11
2015一轮复习经典——（19）
高端视野:函数与方程
【练1】函数f(x)＝ln(x＋1)－
2
x的零点所在的大致区间是()
A．(0,1)B．(1,2)
C．(2，e)D．(3,4)
【练2】函数y＝f(x)在区间(－1,1)上的图象是连续的，且方程f(x)＝0
在(－1,1)上仅有一个实根0，则f(－1)·f(1)的值()
A．大于0B．小于0
C．等于0D．无法确定
【练3】(2013·天津卷)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为()
A．1B．2
C．3D．4
【练4】(2014·厦门市质检)设函数f(x)＝??
?2－x，x≥0，
log
1
2?－x?，x<0.则函数
y
＝f(x)－(x2＋1)的零点个数为()
A．1B．2
C．3D．4
【练5】(2014·河北质监)若f(x)是奇函数，且x0是y＝f(x)＋ex的一个零
点，则－x0一定是下列哪个函数的零点()
A．y＝f(－x)ex－1B．y＝f(x)e－x＋1
C．y＝exf(x)－1D．y＝exf(x)＋1
【练6】(2014·乌鲁木齐第一次诊断)已知函数f(x)＝???
??0，x≤0，
ex，x>0，则使
函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是()
A．[0,1)
高考数学研究函数与方程2/11
B．(－∞，1)
C．(－∞，1]∪(2，＋∞)
D．(－∞，0]∪(1，＋∞)
【练7】如果函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点是2，那么函数g(x)＝
bx2－ax的零点是________．
【练8】函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则
n＝________.
【练9】(2014·长春调研)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋5)＝16，
当x∈(－1,4]时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在[0,2013]上的零点
个数是________．
【练10】(2014·莱芜期末)若函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续的，且方程
f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实根0，则f(－1)·f(1)的值()
A．大于0B．小于0
C．等于0D．无法判断
【练11】(理)(2014·大庆35中模拟)若一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正
根和一个负根，则有()
A．a＜0B．a＞0
C．a＜－1D．a＞1
【练12】(2014·北京模拟)函数f(x)＝－??
?
??
?1
2x的零点个数为()
A．0B．1
C．2D．3
【练13】(2014·德州二模)若函数f(x)唯一的一个零点在区间(0,2008)，(0,1004)，
(0,702)，(0,351)内，那么下列命题正确的是()
A．函数f(x)在区间(0,100)内有零点
B．函数f(x)在区间(0,100)或(100,351)内有零点
C．函数f(x)在区间[0,2008]内无零点
D．函数f(x)在区间(351,2008)内无零点
高考数学研究函数与方程3/11
【练14】(2014·南阳一中模拟)根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的
一个根所在的区间是()
x－10123
ex0.3712.727.3920.09
x＋212345
A.(－1,0)B．(0,1)
C．(1,2)D．(2,3)
【练15】(2013·天津)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为()
A．1B．2
C．3D．4
【练16】(2014·淄博期末)设函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则在下列区间中函数f(x)
不．存在零点的是()
A．[－4，－2]B．[－2,0]
C．[0,2]D．[2,4]
【练17】(2014·绍兴二模)若f(x)＝??
?x2－x－1，x≥2或x≤－1，
1，－1＜x＜2，则函数g(x)＝f(x)
－x的零点为________．
【练18】(2014·贵州四校联考)方程xlg(x＋2)＝1有________个不同的实数根．
【练19】已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．
【练20】(2014·大同二模)关于x的实系数方程x2－ax＋2b＝0的一根在区间[0,1]
上，另一根在区间[1,2]上，则2a＋3b的最大值为________．
【练21】若a>2，则函数f(x)＝
1
3x3－ax2＋1在(0,2)内零点的个数为________．
【练22】已知符号函数sgn(x)＝??
?1，x>0，
0，x＝0，
－1，x<0，
则函数f(x)＝sgn(lnx)－ln2x
的零点个数为________．
【练23】若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[－1,1]时，f(x)
高考数学研究函数与方程4/11
＝1－x2，函数g(x)＝
??
??
?lgx，x>0，
0，x＝0，
－1x，x<0，
则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]
内的零点的个数是________．
【练24】设函数f(x)＝
1
3x－lnx(x＞0)，则函数f(x)在区间(0,1)，(1，＋∞)内的零点
个数分别为________．
【练25】设函数f(x)＝??
?4x－4，x≤1，
x2－4x＋3，x＞1，则函数g(x)＝f(x)－log4x的零点个数
为________．
【练26】已知函数f(x)＝??
?2x－1，x＞0，
－x2－2x，x≤0.若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则
实数m的取值范围是________．
【练27】方程log2(x＋4)＝2x的根有________个．
【练28】已知函数f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一个零点在(2,3)内，则实数k的取值范
围是________．
【练29】若关于x的方程kx＋1＝lnx有解，则实数k的取值范围是________．
【练30】已知函数f(x)＝1＋x－
x2
2＋
x3
3－
x4
4＋…＋
x2011
2011，g(x)＝1－x＋
x2
2－
x3
3＋
x4
4
－…－
x2011
2011，设F(x)＝f(x＋3)·g(x－3)，且函数F(x)的零点均在区间[a，
b](a＜b，a，b∈Z)内，则b－a的最小值为________．
高考数学研究函数与方程5/11
【练1】解析∵f(1)＝ln2－2<0，f(2)＝ln3－1>0，
∴f(1)·f(2)<0.故选B.
答案B
【练2】解析由题意知f(x)在(－1,1)上有零点0，该零点可能是变号零
点，也可能是不变号零点，
∴f(－1)·f(1)符号不定，如f(x)＝x2，f(x)＝x.
答案D
【练3】解析f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，得|log0.5x|＝
1
2x，即|log0.5x|＝(
1
2)x，
所以问题转化为y＝|log0.5x|与y＝(
1
2)x图象的交点个数．在同一
坐标系中作出函数y＝|log0.5x|与y＝(
1
2)x的图象，易知交点个数
为2.
答案B
【练4】解析y＝f(x)－(x2＋1)的零点个数等于y＝f(x)与y＝x2＋1的交
点个数，由图可知，选B.
答案B
【练5】解析
答案C
【练6】解析函数g(x)＝f(x)＋x－m的零点就是方程f(x)＋x＝m的根，
作出h(x)＝f(x)＋x＝???
??x，x≤0，
ex＋x，x>0的大致图象(图略)，观察它
与直线y＝m的交点，得知当m≤0或m>1时有交点，即函数
g(x)＝f(x)＋x－m有零点，选D.
高考数学研究函数与方程6/11
答案D
【练7】解析由已知条件2a＋b＝0，即b＝－2a.
g(x)＝－2ax2－ax＝－2ax(x＋12)，
则g(x)的零点是0，－12
答案0，－12
【练8】解析求函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点，可以大致估算两个相
邻自然数的函数值，如f(2)＝－1＋ln2，由于ln2
以f(2)<0，f(3)＝2＋ln3，由于ln3>1，所以f(3)>0，所以函数
f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n＝2.
答案2
【练9】解析由f(x)＋f(x＋5)＝16，可知f(x－5)＋f(x)＝16，则f(x＋
5)－f(x－5)＝0，所以f(x)是以10为周期的周期函数，在一个
周期(－1,9]上，函数f(x)＝x2－2x在(－1，4]区间内有3个零点，
在(4,9]区间内无零点，故f(x)在一个周期内仅有3个零点，由
于区间(3,2013]中包含201个周期，且在区间[0,3]内也存在一
个零点x＝2，故f(x)在[0，2013]上的零点个数为3×201＋1
＝604.
答案604
【练10】解析：根据连续函数零点的性质，
若f(－1)·f(1)＜0，则f(x)在(－1,1)必有零点，即方程f(x)＝0在(－2,2)上有根，
反之，若方程f(x)＝0在(－2,2)上有根，不一定有f(－1)·f(1)＜0，也可能有
f(－1)·f(1)＞0，如图所示．故选D.
答案：D
高考数学研究函数与方程7/11
【练11】解析：令f(x)＝ax2＋2x＋1，则方程f(x)＝0有一正根和一负根，即函数
f(x)有一个正零点和一个负零点，于是可借助图象，帮助解决．
函数的图象如图1或图2，由图知???
a＜0，
f?0?＞0，或??
?a＞0，
f?0?＜0，解得a＜0，选A.
答案：A
【练12】解析：因为y＝在x∈[0，＋∞)上单调递增，y＝(
1
2)x在x∈R上单调
递减，所以f(x)＝－(
1
2)x在x∈[0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝－1＜0，
f(1)＝
1
2＞0，所以f(x)＝－(
1
2)x在定义域内有唯一零点，选B.
答案：B
【练13】解析：零点一定在(0,2008)，(0,1004)，(0,702)，(0,351)的交集，即(0,351)
内．∴在(351,2008)内无零点，故选D.
答案：D
【练14】解析：令f(x)＝ex－x－2.由表格可判定f(1)<0，f(2)>0，所以f(1)·f(2)<0，
所以根在(1,2)内．故选C.
答案：C
【练15】解析：由f(x)＝0得|log0.5x|＝(
1
2)x，由函数y＝|log0.5x|与y＝(
1
2)x图象知f(x)
＝0有两个零点，所以选B.
答案：B
【练16】解析：∵f(0)＝4sin1＞0，f(2)＝4sin5－2＜0，∴函数f(x)在[0,2]上存在
零点；
∵f(－1)＝－4sin1＋1＜0，
∴函数f(x)在[－2,0]上存在零点；
又∵2＜5π4－12＜4，f(5π4－12)＝4－(5π4－12)＞0，
而f(2)＜0，∴函数f(x)在[2,4]上存在零点．故选A.
答案：A
高考数学研究函数与方程8/11
【练17】解析：求函数g(x)＝f(x)－x的零点，
即求f(x)＝x的根，
∴???x≥2或x≤－1，x2－x－1＝x或???－1＜x＜2，1＝x.
解得x＝1＋2或x＝1.
∴g(x)的零点为1＋2，1.
答案：1＋2，1
【练18】解析：方程xlg(x＋2)＝1?lg(x＋2)＝
1
x，在坐标系中同时画出y＝lg(x＋
2)与y＝
1
x的图象，
可得两函数图象有两个交点，故所求方程有2个不同的实数根．
答案：2
【练19】解析：由原函数有零点，可将问题转化为方程ex－2x＋a＝0有解问题，
即方程a＝2x－ex有解．
令函数g(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex，令g′(x)＝0，得x＝ln2，所以g(x)
在(－∞，ln2)上是增函数，在(ln2，＋∞)上是减函数，所以g(x)的最大值为：
g(ln2)＝2ln2－2.因此，a的取值范围就是函数g(x)的值域，所以，a∈(－∞，2ln
2－2]．
答案：(－∞，2ln2－2]
【练20】解析：令f(x)＝x2－ax＋2b，根据题意知函数在[0,1]，[1,2]上各存在一零
点，结合二次函数图象可知满足条件：
??
?f?0?≥0，
f?1?≤0，
f?2?≥0
?
??
?b≥0，
1－a＋2b≤0，
2－a＋b≥0.
在直角坐标系中作出满足不等式组的点(a，b)所在的可行域如图，
高考数学研究函数与方程9/11
问题转化为确定线性目标函数z＝2a＋3b的最优解．结合图形可知当a＝3，
b＝1时，目标函数取得最大值9.
答案：9
【练21】解析依题意得f′(x)＝x2－2ax，由a>2可知，f′(x)在x∈(0,2)时恒为
负，即f(x)在(0,2)内单调递减，又f(0)＝1>0，f(2)＝
8
3－4a＋1<0，因此f(x)
在(0,2)内只有一个零点．
答案1
【练22】解析依题意得，当x＞1时，lnx＞0，sgn(lnx)＝1，f(x)＝sgn(lnx)－ln2x
＝1－ln2x，令1－ln2x＝0，得x＝e或x＝
1
e，结合x＞1，得x＝e；当x
＝1时，lnx＝0，sgn(lnx)＝0，f(x)＝－ln2x，令－ln2x＝0，得x＝1，符
合；当0＜x＜1时，lnx＜0，sgn(lnx)＝－1，f(x)＝－1－ln2x.令－1－ln2x
＝0，得ln2x＝－1，此时无解．因此，函数f(x)＝sgn(lnx)－ln2x的零点
个数为2.
答案2
【练23】解析依题意得，函数f(x)是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出
函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象，结合图象得，当x∈[－5,5]时，它们
的图象的公共点共有8个，即函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内的零
点的个数是8.
答案8
【练24】解析设y＝
1
3x与y＝lnx，作图象可知f(x)
在区间(0,1)内无零点，在(1，＋∞)内仅有两
个零点．
答案0,2
高考数学研究函数与方程10/11
【练25】解析设y＝f(x)与y＝log4x，分别画出它们的图象，得有2个交点，所
以函数g(x)的零点个数为2.
答案2
【练26】解析画出图象，令g(x)＝f(x)－m＝0，即y＝f(x)与y＝m的图象的交点
有3个，∴0＜m＜1.
答案(0,1)
【练27】解析作函数y＝log2(x＋4)，y＝2x的图象如图所示，两图象有两个交点，
且交点横坐标一正一负，∴方程有一正根和一负根．
答案2
【练28】解析因为Δ＝(1－k)2＋4k＝(1＋k)2≥0对一切k∈R恒成立，又k＝－1
时，f(x)的零点x＝－1?(2,3)，故要使函数f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一个零
点在(2,3)内，则必有f(2)·f(3)<0，即2
答案(2,3)
【练29】解析如图，若y＝kx＋1与y＝lnx相切于点P(x0，y0)，则
??
??
?k＝1
x0，
kx0＋1＝lnx0，
解得x0＝e2，k＝1e2.
欲使方程有解，则y＝kx＋1与y＝lnx有公共点，
所以k≤1e2.
答案??????－∞，1e2
【练30】解析由f′(x)＝1－x＋x2－x3＋…＋x2010＝
1＋x2011
1＋x，
则f′(x)＞0，f(x)为增函数，又f(0)＝1＞0，f(－1)＜0，
从而f(x)的零点在(－1,0)上；同理g(x)为减函数，零点在(1,2)上，∴F(x)的零
点在(－4，－3)和(4,5)上，要使区间[a，b]包含上述区间，则需(b－a)min＝9.
高考数学研究函数与方程11/11
答案9
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