高考数学研究抽象函数1/5
2015一轮复习经典——（20）
高端视野:抽象函数
1、线性函数型抽象函数
线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。
【例1】已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，
f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。
【例2】已知函数f(x)定义域R，对任意的x、y?R，有f(x+y)=f(x)+f(y)-1，当x>0时，
f(x)>1,⑴求证：f(x)为单调增函数.⑵.若不等式f(a2+a-5)<2的解为-3
2、幂函数型抽象函数
幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。
【例3】已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）·f（y），且f（－1）＝1，f
（27）＝9，当时，。
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明；
（3）若，求a的取值范围。
【例4】已知函数f(x)对任意的x>0,y>0都有??fxy＝??fx??fy，且x>1时，
??fx<1,??2f=19
⑴.求证：??fx>0.
⑵.1f
x??????
=??1fx
⑶.??fx是否存在单调，说明理由.
⑷.若??fx>9的解集为（m,n）求m+n.
高考数学研究抽象函数2/5
3.指数函数型抽象函数
【例5】已知函数f(x)定义域R，满足①.x<0时，??fx>1②.f(0)?0③.任意的x、y?R
有f(x+y)=f(x)f(y).
⑴x>0时,0
⑵判定f(x)的单调性.
（3）解不等式f(x-6)f(x2-2x)?1.
【例6】设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在，使得，
对任何x和y，成立。
求：（1）f（0）；
（2）对任意值x，判断f（x）值的正负。
【例7】已知函数f(x)对任何正数x,y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(x)≠0,当x>1时,f(x)<1.试判断
f(x)在(0,+∞)上的单调性,并说明理由.
4.对数函数型抽象函数
【例8】设函数??fx定义在R?上，对任意的,mnR??，恒有??????fmnfmfn???，
且当1x?时，??0fx?，试解决以下问题：
（Ⅰ）求??1f的值，并判断??fx的单调性；
（Ⅱ）设集合????????,|0Axyfxyfxy?????，??????,|20Bxyfaxy????，
若AB??，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若0ab??，满足????2
2abfafbf?????????
，求证：322b???．
【例9】已知函数f(x)定义域R+，对任意的??R有f(x?)=?f(x),且x>1时f(x)<0,f(12)=1
⑴.求证：x>0,y>0时，f(xy)=f(x)+f(y)
⑵.求证f(x)有单调性.
⑶.解不等式f(x)+f(5-x)?-2.
高考数学研究抽象函数3/5
【例1】【解析】分析：由题设可知，函数f（x）是的抽象函数，因此求函
数f（x）的值域，关键在于研究它的单调性
设，∵当，∴，
∵，
∴，即，∴f（x）为增函数。
在条件中，令y＝－x，则，再令x＝y＝0，则f（0）＝2f（0），∴f
（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f（x）为奇函数，
∴f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2f（－1）＝－4，
∴f（x）的值域为［－4，2］。
【例2】【解析】(1)当x10,∴f(x2-x1)-1>0,因
此有f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1>0,即f(x)上升，为单调增函数
⑵.设f(m)=2,f(a2+a-5)<2=f(m),?a2+a-5
?-5-m=-6?m=1.∴f(1)=2,f(4)=2f(2)-1=4f(1)-3=8-3=5.
【例3】【解析】由题设可知f（x）是幂函数的抽象函数，从而可猜想f（x）是偶
函数，且在［0，＋∞）上是增函数。
（1）令y＝－1，则f（－x）＝f（x）·f（－1），∵f（－1）＝1，∴
f（－x）＝f（x），f（x）为偶函数。
（2）设，∴，，
∵时，，∴，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在0，＋∞）上
是增函数。
（3）∵f（27）＝9，又，
∴，∴，∵，∴，
∵，∴，又，故。
【例4】【解析】⑴.f(x)＝f(xx)=f2(x)?0,若存在x0>0有f(x0)=0则f(x)＝
f(
00xxx
)=f(x0)f(
0
xx)=0,与??2f=19矛盾.∴??fx>0.
⑵.f(1)=f2(1)?f(1)=1?f(1x)f(x)=f(1)=1∴f(1x)=??1fx
⑶.x2>x1>0,f(x2)=f(2
11xxx
)=f(x1)f(2
1
xx)?????2
1
fxfx=f(2
1
xx)<1(∵2
1
xx>1)?f(x)在??0,??单
调递减。.
⑷.??fx>9＝f(12)∵f(x)在??0,??下降，∴0
高考数学研究抽象函数4/5
【例5】【解析】⑴f(x)＝f(2x+2x)=f2(2x)?0,若存在x0>0有f(x0)=0则f(x)＝
f(x0+x-x0)=f(x0)f(x-x0)=0,与f(0)?0矛盾.∴??fx>0
又x>0时,f(0)＝f2(0)∴f(0)＝1,∴f(x-x)=f(x)f(-x)=1∵-x<0,∴f(x)=??1fx?<1.
⑵.x2>x1,f(x2)＝f(x1+x2-x1)=f(x1)f(x2-x1)?????2
1
fxfx=f(x2-x1)<1∴f(x2)
在R上单调递减。.
⑶.f(x-6)f(x2-2x)?1＝f(0)?f(x2-2x+x-6)?f(0)?f(x2-x-6)?f(0)?x2-x-6?0
∴-2?x?3.
【例6】【解析】由题设可猜测f（x）是指数函数的抽象函数，从而猜想f（0）＝1
且f（x）＞0。（1）令y＝0代入，则，
∴。若f（x）＝0，则对任意，有，
这与题设矛盾，∴f（x）≠0，∴f（0）＝1。
（2）令y＝x≠0，则，又由（1）知f（x）≠0，
∴f（2x）＞0，即f（x）＞0，故对任意x，f（x）＞0恒成立。
【例7】【解析】0)x(f,0)x(f,0)x(f)xx(f)x(fRx2????????故又有对
则则且设,1xx,xx,Rx,x122121????
1)xx(f)x(f
)x(f)xx(f
)x(f
)xxx(f
)x(f
)x(f
1
2
1
112
1
112
1
2??
?
?
?
?
所以f(x1)>f(x2),故f(x)在R+上为减函数.
【例8】【解析】（Ⅰ）在??????fmnfmfn???中令1mn??，得??10f?；
设120xx??，则1
21
xx?，从而有1
2
0xfx???????
所以??????11
122222xxfxfxfxffx?????????????????
，故??fx在R?上单调递减．
（Ⅱ）????????2201fxyfxyfxyf???????，
由（Ⅰ）知，??fx在R?上单调递减，则
22
0
0
1
xy
xy
xy
????
???
????
故集合A中的点所表示的区域为如图所示的阴影部分；
而????201faxyf????，所以10axy???，
O
y
x
1yax??
高考数学研究抽象函数5/5
故集合B中的点所表示的区域为一直线，如图所示，由图可知，要AB??，只要1a?，
∴实数a的取值范围是??,1??．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知??fx在R?上单调递减，
∴当01x??时，??0fx?，当1x?时，??0fx?，
0ab??，而????fafb?，故有1,1ab??，即????0,0fafb??，
由????fafb?得，????0fafb??，所以1ab?，
又12abab???，所以??10
2abff?????????
，??22
22ababfbff??????????????????????
由??2
2abfbf????????
得，??22242babab?????，即2242bba???，
又01a??，所以2223a???，由2243bb???及1b?，解得322b???．
【例9】【解析】⑴.∵x>0,y>0，且y=ax的值域是R+∴存在n、m满足ma＝x,na=y,
f(xy)=f(nama)=f(mna?)=(m+n)f(a)=mf(a)+nf(a)=f(na)+f(ma)=f(x)+f(y).
⑵.x2>x1>0,f(1)=2f(1)∴f(1)=0?f(1x)+f(x)=f(1)=0?-f(1x)=f(x)?
f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(
1
1x)=f(2
1
xx)<0(∵2
1
xx>1)?f(x)在R+上下降，因此存在反函数.
⑶.∵f(12)=1∴-f(2)=1?2f(2)=-2,f(x)+f(5-x)?-2.=2f(2)=f(4)?f[x(5-x)]?f(4),
?
??
????
005
504,50,141
54
xx
xxxx
xx
??????
??????????
????或
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