高考数学研究导数的定义1/2
2015一轮复习经典——（23）
高端视野:导数的定义
【练1】函数y＝x＋
1
x在[x，x＋Δx]上的平均变化率
Δy
Δx＝________；该函数在x＝1处的导
数是________.
【练2】已知函数f′(x)，g′(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，
它们在同一坐标系下的图象如图所示，设函数h(x)＝f(x)－g(x)，则
()．
A．h(1)
B．h(1)
C．h(0)
D．h(0)
【练3】(2013·山东实验中学模拟)我们常用以下方法求如
y＝f(x)g(x)的函数的导数：先把两边同取自然对数
得：lny＝g(x)·lnf(x)，再两边同时求导得到：
1
y·y′＝g′(x)lnf(x)＋
g(x)·
1
f?x?·f′(x)，于是得到：y′＝f(x)g(x)[g′(x)lnf(x)＋g(x)·
1
f?x?·f′(x)]，
运用此方法求得函数y＝的一个单调递增区间是()
A．(e,4)B．(3,6)
C．(0，e)D．(2,3)
【练4】一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝
1
3t3－
3
2t2＋2t，
那么速度为零的时刻是()
A．0秒B．1秒末
C．2秒末D．1秒末和2秒末
【练5】(2014四川广元二诊)如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，则容
器中水面的高度h随时间t变化的函数图象可能是()
高考数学研究导数的定义2/2
【练1】答案1－
1
x?x＋Δx?0
解析∵Δy＝(x＋Δx)＋1x＋Δx－x－1x
＝Δx＋1x＋Δx－1x＝Δx＋－Δxx?x＋Δx?.
∴ΔyΔx＝1－1x?x＋Δx?.
从而，当Δx→0时，ΔyΔx→1－1x2.当x＝1时，ΔyΔx→0.
【练2】解析由图象可知f′(x)＝x，g′(x)＝x2，则f(x)＝
1
2x2＋m，其中m为
常数，g(x)＝
1
3x3＋n，其中n为常数，则h(x)＝
1
2x2－
1
3x3＋m－n，得
h(0)
答案D
【练3】答案C
解析由题意知f(x)＝x，g(x)＝1x，则f′(x)＝1，g′(x)＝－1x2，∴y′＝[－
1
x2lnx＋
1
x·
1
x]＝·
1－lnx
x2，由y′＝·
1－lnx
x2>0，得1－lnx>0，得0
间为(0，e)，选C.
【练4】答案D
解析∵s＝13t3－32t2＋2t，∴v＝s′(t)＝t2－3t＋2.
令v＝0，得t2－3t＋2＝0，t1＝1或t2＝2.
【练5】解析：由三视图知容器为锥形漏斗，在向容器中匀速注水过程中，水升高得越来
越慢，高度h随时间t的变化率越来越小，表现在切线上就是切线的斜率在减小，
故选B.
答案：B
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