高考数学研究导数与极值1/8
2015一轮复习经典——（28）
高端视野:导数与极值
【练1】函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．
【练2】若f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是
________．
【练3】若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是
()
A．(0,1)B．(－∞，1)
C．(0，＋∞)D.??????0，12
【练4】已知函数f(x)＝
2x＋1
x2＋2，则下列选项正确的是()
A．函数f(x)有极小值f(－2)＝－12，极大值f(1)＝1
B．函数f(x)有极大值f(－2)＝－12，极小值f(1)＝1
C．函数f(x)有极小值f(－2)＝－12，无极大值
D．函数f(x)有极大值f(1)＝1，无极小值
【练5】已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1时有极值0，则m＋n＝___.
【练6】(2014·重庆模拟)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝
(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
高考数学研究导数与极值2/8
【练7】已知函数f(x)＝
1
3x3＋a2x2＋ax＋b，当x＝－1时，函数f(x)的极值为－
7
12，
则f(2)＝________.
【练8】设函数f(x)＝
2
x＋lnx，则()
A．x＝12为f(x)的极大值点
B．x＝12为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
【练9】(2013·浙江卷)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x
－1)k(k＝1,2)，则()
A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值
B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值
C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值
D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值
【练10】(2013·湖北卷)已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数
a的取值范围是()
A．(－∞，0)B.??????0，12
C．(0,1)D．(0，＋∞)
【练11】已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极
小值，则实数m的取值范围是________．
【练12】若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx－2在x＝1处有极
值，则ab的最大值为()
A．2B．3
C．6D．9
高考数学研究导数与极值3/8
【练13】函数f(x)＝ax3＋bx在x＝
1
a处有极值，则ab的值为()
A．2B．－2C．3D．－3
【练14】函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．
【练15】已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实
数a的取值范围是()
A．(－1,2)B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
C．(－3,6)D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
【练16】(2013·辽宁卷)设函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝
ex
x，f(2)＝
e2
8，
则x>0时，f(x)()
A．有极大值，无极小值
B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值
D．既无极大值也无极小值
【练17】f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________．
【练18】若函数f(x)＝
x2＋a
x＋1在x＝1处取得极值，则a＝________.
【练1】解析由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.由f′(x)＞0得x＜0或x＞2，由f′(x)
＜0得0＜x＜2，所以f(x)在x＝2处取得极小值．
答案2
【练2】解析f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，由题意知f′(x)＝0有两个不等的实
根，由Δ＝(6a)2－4×3×3(a＋2)＞0，即a2－a－2＞0，解得a＞2或a
＜－1.
答案(－∞，－1)∪(2，＋∞)
【练3】【解析】f′(x)＝3x2－6b，令f′(x)＝0得x2＝2b，
由题意知0＜2b＜1，∴0＜b＜12，故选D.
【答案】D
高考数学研究导数与极值4/8
【练4】【解析】由f′(x)＝??
?
??
?2x＋1
x2＋2′＝
－2?x＋2??x－1?
?x2＋2?2＝0，得x＝－2或x＝1，
当x＜－2时，f′(x)＜0，当－2＜x＜1时，f′(x)＞0，当x＞1时，f′(x)
＜0，故x＝－2是函数f(x)的极小值点，且f(－2)＝－
1
2，x＝1是函数f(x)
的极大值点，且f(1)＝1.故选A.
【答案】A
【练5】【解析】∵f′(x)＝3x2＋6mx＋n，
∴由已知可得
??
?f?－1?＝?－1?3＋3m?－1?2＋n?－1?＋m2＝0，
f′?－1?＝3×?－1?2＋6m?－1?＋n＝0，
∴???m＝1，n＝3或???m＝2，n＝9，
当???m＝1，n＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0恒成立与x＝－1是极值
点矛盾，
当???
m＝2，
n＝9时，f′(x)＝3x
2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)，
显然x＝－1是极值点，符合题意，∴m＋n＝11.
【答案】11
【练6】解析：①当x<－2时，1－x>0.
∵(1－x)f′(x)>0，∴f′(x)>0，
即f(x)在(－∞，－2)上是增函数．
②当－20.∵(1－x)f′(x)<0，
∴f′(x)<0，即f(x)在(－2,1)上是减函数．
③当1
∵(1－x)f′(x)>0，∴f′(x)<0，
即f(x)在(1,2)上是减函数．
④当x>2时，1－x<0.∵(1－x)f′(x)<0，
∴f′(x)>0，即f(x)在(2，＋∞)上是增函数．
综上：f(－2)为极大值，f(2)为极小值．
高考数学研究导数与极值5/8
答案：D
【练7】解析：f′(x)＝x2＋2a2x＋a，
由已知得
??
??
?f′?－1?＝0，
f?－1?＝－712，
即
??
??
??－1?2＋2a2?－1?＋a＝0，
1
3?－1?
3＋a2?－1?2＋a?－1?＋b＝－7
12，
整理得
??
??
?2a2－a－1＝0，
a2－a＋b＋14＝0，解得???
??a＝1，
b＝－14，或???
??a＝－12，
b＝－1.
经验证
??
??
?a＝1，
b＝－14时，f(x)在x＝－1处不取极值，所以舍去，故f(x)＝
1
3x
3＋1
4
x2－12x－1.
∴f(2)＝53.
答案：53
【练8】解析函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－2x2＋1x＝x－2x2，
当x＝2时，f′(x)＝0；当x>2时，f′(x)>0，函数f(x)为增函数；
当0
所以x＝2为函数f(x)的极小值点．
答案D
【练9】解析当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，f′(1)＝xex－1，x＝1
不是f′(x)＝0的根，所以不是极值点，排除A、B；当k＝2
高考数学研究导数与极值6/8
时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)，当x＝1
时f′(x)＝0且x>1时f′(x)>0，结合选项，故选C.
答案C
【练10】解析f′(x)＝lnx－ax＋x??
?
??
?1
x－a＝lnx－2ax＋1，假设函数f(x)
只有1个极值点，则方程lnx－2ax＋1＝0(x>0)只有一根，数形
结合，即直线y＝2ax－1与曲线y＝lnx相切．设切点为(x0，lnx0)，
则切线方程为y－lnx0＝
1
x0(x－x0)，即y＝
1
x0x＋lnx0－1.又切线方
程为y＝2ax－1，对比得??
?2a＝1x
0，
－1＝lnx0－1，解得
a＝
1
2，x0＝1.
故若要使直线y＝2ax－1与曲线y＝lnx相交，即函数f(x)＝x(lnx
－ax)有2个极值点，需满足0
1
2.
答案B
【练11】解析f′(x)＝3x2＋2mx＋m＋6＝0有两个不等实根，即Δ＝
4m2－12×(m＋6)>0.所以m>6或m<－3.
答案(－∞，－3)∪(6，＋∞)
【练12】解析：函数的导数为f′(x)＝12x2－2ax－2b，函数在x＝1处
有极值，则有f′(1)＝12－2a－2b＝0，即a＋b＝6，所以6＝
a＋b≥2ab，即ab≤9，当且仅当a＝b＝3时取等号，选D.
答案：D
【练13】解析f′(x)＝3ax2＋b，由f′????
1
a＝3a????
1
a2＋b＝0，可得ab＝－3.故选D.
答案D
【练14】解析f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2，当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，
当x∈(0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，显然当x＝2时f(x)取极小值．
答案2
高考数学研究导数与极值7/8
【练15】解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为函数有极大值和极小值，
所以f′(x)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4a2－4×3(a
＋6)>0，解得a<－3或a>6.
答案：B
【练16】解析：由题意[x2f(x)]′＝
ex
x，令g(x)＝x2f(x)，则g′(x)＝
ex
x，
且f(x)＝
g?x?
x2，因此f′(x)＝
xg′?x?－2g?x?
x3＝
ex－2g?x?
x3.令h(x)
＝ex－2g(x)，则h′(x)＝ex－2g′(x)＝e－
2ex
x＝
ex?x－2?
x，所以
x>2时，h′(x)>0；0
即f′(x)≥0，所以当x>0时，f(x)是单调递增的，f(x)无极大
值也无极小值．
答案：D
【练17】解析：f(x)＝x3－2cx2＋c2x，f′(x)＝3x2－4cx＋c2，
f′(2)＝0?c＝2或c＝6.若c＝2，f′(x)＝3x2－8x＋4，
令f′(x)>0?x<23或x>2，f′(x)<0?23
故函数在??????－∞，23及(2，＋∞)上单调递增，在??????23，2上单调递减，
∴x＝2是极小值点，故c＝2不合题意，c＝6.
答案：6
【练18】解析：由于f′(x)＝
?x2＋a?′·?x＋1?－?x2＋a?·?x＋1?′
?x＋1?2
＝2x·?x＋1?－?x
2＋a?·1
?x＋1?2＝
x2＋2x－a
?x＋1?2，而函数f(x)在x＝1处取得极值，则f′(1)＝
12＋2×1－a
?1＋1?2＝0，解得a＝3，故填3.
答案：3
高考数学研究导数与极值8/8
有问题反馈到北京高考数学研究微信
|
|
