高考数学研究导数与零点1/4
2015一轮复习经典——（30）
高端视野:导数与零点
【练1】若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是__________.
【练2】已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝________.
【练3】若直线y＝m与y＝3x－x3的图象有三个不同的交点，则实数m的取值范
围为()
A．－2＜m＜2B．－2≤m≤2
C．m＜－2或m＞2D．m≤－2或m≥2
【练4】(2012·湖南高考)设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，
f′(x)是f(x)的导函数，当x∈[0，π]时，0
π
2时，
??
?
??
?x－π
2·f′(x)>0.则函数y＝f(x)－sinx在[－2π，2π]上的零点个数为()
A．2B．4
C．5D．8
【练5】(2014·鹰潭一中模拟)若a＞2，则函数f(x)＝
1
3x3－ax2＋1在区间(0,2)上恰
好有()
A．0个零点B．1个零点
C．2个零点D．3个零点
【练6】(2014·新疆农七师高中二模)若函数f(x)＝x3－3a2x＋1的图象与直线y＝3
只有一个公共点，则实数a的取值范围是________．
【练7】关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，则实数a
的取值范围是________．
【练8】(2013·河南十所名校第三次联考)设函数f(x)＝
1
3x－lnx，则y＝
f(x)()
A．在区间??????1e，1，(1，e)内均有零点
B．在区间??????1e，1，(1，e)内均无零点
C．在区间??????1e，1内有零点，在区间(1，e)内无零点
高考数学研究导数与零点2/4
D．在区间??????1e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点
【练9】(2013·东北三校第二次联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函
数，当x≥0时，f(x)＝ex－ax，若函数在R上有且仅有4个
零点，则a的取值范围是________．
【练1】答案(－2,2)
解析由于函数f(x)是连续的，故只需要两个极值异号即可.f′(x)＝3x2－3，令3x2－3＝0，
得x＝±1，只需f(－1)·f(1)<0，即(a＋2)(a－2)<0，故a∈(－2,2).
【练2】答案－2或2
解析设f(x)＝x3－3x＋c，对f(x)求导可得，
f′(x)＝3x2－3，
令f′(x)＝0，可得x＝±1，
易知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减.
若f(1)＝1－3＋c＝0，可得c＝2；
若f(－1)＝－1＋3＋c＝0，可得c＝－2.
【练3】【解析】y′＝3(1－x)(1＋x)，
由y′＝0，得x＝±1，∴y极大＝2，y极小＝－2，
∴－2＜m＜2.
【答案】A
【练4】【解析】∵??
?
??
?x－π
2f′(x)>0，
当π20，
∴f(x)在??????π2，π上是增函数．
当0
∴f(x)在??????0，π2上是减函数．
设π≤x≤2π，则0≤2π－x≤π.由f(x)是以2π为最小正周期的偶函数知f(2π
－x)＝f(x)．故π≤x≤2π时，0
依题意作出草图可知，y1＝f(x)与y2＝sinx在[－2π，2π]上有四个交点．
高考数学研究导数与零点3/4
【答案】B
【练5】解析：∵f′(x)＝x2－2ax，且a＞2，
∴当x∈(0,2)时，f′(x)＜0，
即f(x)在(0,2)上是单调减函数．
又∵f(0)＝1＞0，f(2)＝113－4a＜0，
∴f(x)在(0,2)上恰好有1个零点，故选B.
答案：B
【练6】解析：f′(x)＝3x2－3a2，令f′(x)＝0，则x＝±a，
由题意，a＜0时，f(a)＝a3－3a3＋1＜3，a3＞－1，
∴－1＜a＜0；
a＝0时成立；
a＞0时，f(－a)＝－a3＋3a3＋1＜3，a3＜1，
∴0＜a＜1，故a的取值范围为(－1,1)．
答案：(－1,1)
【练7】解析方程可化为a＝x3－3x2，
设f(x)＝x3－3x2，则f′(x)＝3x2－6x，
由f′(x)>0，得x>2或x<0；
由f′(x)<0，得0
所以f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减，
故f(x)在x＝0处有极大值，f(0)＝0.
在x＝2处有极小值f(2)＝－4.
要使方程有三个不同的实根，则有－4
答案(－4,0)
【练8】解析：f(x)＝
1
3x－lnx，则f′(x)＝
1
3－
1
x＝
x－3
3x，知当x∈(0,3)
时，f′(x)<0，f(x)单调递减，x∈(3，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)
在(3，＋∞)上单调递增，而f(3)＝1－ln3<0，故f(x)在(0,3)
上有零点且惟一，在(3，＋∞)上有零点且惟一，f(1)＝
1
3>0，
高考数学研究导数与零点4/4
f(e)＝
e
3－1<0，故在(1，e)上有零点，在??
?
??
?1
e，1上无零点，故
选D.
答案：D
【练9】解析：x≥0时f(x)＝ex－ax，f(0)＝1>0，f(x)又为偶函数，所
以函数f(x)在R上有4个零点，则在(0，＋∞)上有两个零点，
x>0时，f′(x)＝ex－a＝0得x＝lna(a>0)，所以f(x)在(0，ln
a)上单调减，在(lna，＋∞)上单调递增，若在(0，＋∞)上存
在两个零点，则f(lna)＝a－alna<0，得a>e，即a的取值范
围是(e，＋∞)．
答案：(e，＋∞)
有问题反馈到北京高考数学研究微信
|
|
