高考数学研究同角三角函数的基本关系与诱导公式1/4
2015一轮复习经典——（45）
三角函数的图象与性质
1.函数y＝lg(sinx)＋cosx－12的定义域为____________________________________.
2.已知函数f(x)＝3sin(ωx－π6)(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同.若
x∈[0，π2]，则f(x)的取值范围是________.
3.设函数f(x)＝3sin(π2x＋π4)，若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)
成立，则|x1－x2|的最小值为________.
4.若函数f(x)＝asinωx＋bcosωx(0<ω<5，ab≠0)的图象的一条对称轴方程是x＝π4ω，函数
f′(x)的图象的一个对称中心是????π8，0，则f(x)的最小正周期是________.
5.已知定义在R上的函数f(x)满足：当sinx≤cosx时，f(x)＝cosx，当sinx>cosx时，f(x)＝sinx.
给出以下结论：
①f(x)是周期函数；
②f(x)的最小值为－1；
③当且仅当x＝2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值；
④当且仅当2kπ－π20；
⑤f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是2π.
其中正确的结论序号是________.
6.已知函数f(x)＝sin2x－3cos2x＋1.
(1)当x∈[π4，π2]时，求f(x)的最大值和最小值；
(2)求f(x)的单调区间.
7.已知a>0，函数f(x)＝－2asin????2x＋π6＋2a＋b，当x∈????0，π2时，－5≤f(x)≤1.
(1)求常数a，b的值；
(2)设g(x)＝f????x＋π2且lgg(x)>0，求g(x)的单调区间.
高考数学研究同角三角函数的基本关系与诱导公式2/4
1.答案????2kπ，π3＋2kπ(k∈Z)
解析要使函数有意义必须有
??
??
?sinx>0
cosx－12≥0，
即
??
??
?sinx>0
cosx≥12，解得???
??2kπ
－π3＋2kπ≤x≤π3＋2kπ(k∈Z)，
∴2kπ
∴函数的定义域为??????x|2kπ
2.答案[－32，3]
解析由对称轴完全相同知两函数周期相同，
∴ω＝2，∴f(x)＝3sin(2x－π6).
由x∈[0，π2]，得－π6≤2x－π6≤56π，
∴－32≤f(x)≤3.
3.答案2
解析f(x)＝3sin(π2x＋π4)的周期T＝2π×2π＝4，
f(x1)，f(x2)应分别为函数f(x)的最小值和最大值，
故|x1－x2|的最小值为T2＝2.
4.答案π
解析由题设，有f????π4ω＝±a2＋b2，
即22(a＋b)＝±a2＋b2，由此得到a＝b.
又f′????π8＝0，∴aω????cosωπ8－sinωπ8＝0，
从而tanωπ8＝1，ωπ8＝kπ＋π4，k∈Z，
即ω＝8k＋2，k∈Z，而0<ω<5，∴ω＝2，
于是f(x)＝a(sin2x＋cos2x)＝2asin????2x＋π4，
故f(x)的最小正周期是π.
5.答案①④⑤
高考数学研究同角三角函数的基本关系与诱导公式3/4
解析易知函数f(x)是周期为2π的周期函数.
函数f(x)在一个周期内的图象如图所示.
由图象可得，f(x)的最小值为－22，当且仅当x＝2kπ＋5π4(k∈Z)时，f(x)取得最小值；当
且仅当2kπ－π20；f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是2π.
所以正确的结论序号是①④⑤.
6.解(1)f(x)＝sin2x－3cos2x＋1＝2sin(2x－π3)＋1.
∵π4≤x≤π2，∴π2≤2x≤π，∴π6≤2x－π3≤2π3，
∴12≤sin(2x－π3)≤1，∴1≤2sin(2x－π3)≤2，
于是2≤2sin(2x－π3)＋1≤3，
∴f(x)的最大值是3，最小值是2.
(2)由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z
得2kπ－π6≤2x≤2kπ＋5π6，k∈Z，
∴kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z，
即f(x)的单调递增区间为[kπ－π12，kπ＋5π12]，k∈Z，
同理由2kπ＋π2≤2x－π3≤2kπ＋3π2，k∈Z
得f(x)的单调递减区间为[kπ＋5π12，kπ＋11π12]，k∈Z.
7.解(1)∵x∈????0，π2，∴2x＋π6∈????π6，7π6.
∴sin????2x＋π6∈????－12，1，
∴－2asin????2x＋π6∈[－2a，a].
∴f(x)∈[b,3a＋b]，又∵－5≤f(x)≤1，
∴b＝－5,3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.
高考数学研究同角三角函数的基本关系与诱导公式4/4
(2)由(1)得，f(x)＝－4sin????2x＋π6－1，
g(x)＝f????x＋π2＝－4sin????2x＋7π6－1
＝4sin????2x＋π6－1，
又由lgg(x)>0，得g(x)>1，
∴4sin????2x＋π6－1>1，∴sin????2x＋π6>12，
∴2kπ＋π6<2x＋π6<2kπ＋5π6，k∈Z，
其中当2kπ＋π6<2x＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z时，
g(x)单调递增，即kπ
∴g(x)的单调增区间为????kπ，kπ＋π6，k∈Z.
又∵当2kπ＋π2<2x＋π6<2kπ＋5π6，k∈Z时，
g(x)单调递减，即kπ＋π6
∴g(x)的单调减区间为????kπ＋π6，kπ＋π3，k∈Z.
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