高考数学研究三角函数的图象与性质1/5
2015一轮复习经典——（51）
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质
一、填空题
1.为得到函数y＝cos(2x＋π3)的图象，只需将函数y＝sin2x的图象向左平移φ(0≤φ<π)个单位，
则φ＝________.
2.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区
间是________.
3.将函数y＝sin(x＋φ)(0≤φ<π)的图象F向左平移π6个单位长度后得到图象F′，若F′的一
个对称中心为????π4，0，则φ＝________.
4.设ω>0，函数y＝sin(ωx＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值
是________.
5.已知函数f(x)＝2sinωx在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是________.
6.已知f(x)＝sin????ωx＋π3(ω>0)，f????π6＝f????π3，且f(x)在区间????π6，π3上有最小值，无最大值，则
ω＝___.
7.设偶函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角
三角形，∠KML＝90°，KL＝1，则f(16)的值为_____.
8.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos????π6?x－6?
(x＝1,2,3，…，12，A>0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月
平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.
二、解答题
高考数学研究三角函数的图象与性质2/5
9.(2013·天津)已知函数f(x)＝－2sin????2x＋π4＋6sinxcosx－2cos2x＋1，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间????0，π2上的最大值和最小值.
10.已知函数f(x)＝3sinωx·cosωx－cos2ωx(ω>0)的周期为π2.
(1)求ω的值和函数f(x)的单调递增区间；
(2)设△ABC的三边a、b、c满足b2＝ac，且边b所对的角为x，求此时函数f(x)的值域.
1.答案5π12
解析y＝cos(2x＋π3)＝sin[π2＋(2x＋π3)]
＝sin(2x＋5π6).
故要得到y＝sin(2x＋5π6)＝sin2(x＋5π12)的图象，只需将函数y＝sin2x的图象向左平移5π12个
单位长度.
2.答案[kπ－π12，kπ＋5π12]，k∈Z
解析由函数的图象可得14T＝23π－512π，
∴T＝π，则ω＝2.
高考数学研究三角函数的图象与性质3/5
又图象过点(512π，2)，∴2sin(2×512π＋φ)＝2，
∴φ＝－π3＋2kπ，k∈Z，
取k＝0，即得f(x)＝2sin(2x－π3)，
其单调递增区间为[kπ－π12，kπ＋5π12]，k∈Z.
3.答案7π12
解析图象F′对应的函数y＝sin????x＋π6＋φ，
则π4＋π6＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ－5π12，k∈Z，
令k＝1时，φ＝7π12.
4.答案32
解析由函数向右平移4π3个单位后与原图象重合，
得4π3是此函数周期的整数倍.又ω>0，
∴2πω·k＝4π3，∴ω＝32k(k∈Z)，∴ωmin＝32(ω>0).
5.答案(－∞，－32]∪[32，＋∞)
解析当ω>0时，－π3ω≤ωx≤π4ω，
由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32；
当ω<0时，π4ω≤ωx≤－π3ω，
由题意知－π3ω≥π2，即ω≤－32.
综上可知，ω的取值范围是(－∞，－32]∪[32，＋∞).
6.答案143
解析依题意，x＝
π
6＋
π
3
2＝
π
4时，y有最小值，
∴sin????π4·ω＋π3＝－1，∴π4ω＋π3＝2kπ＋3π2(k∈Z).
高考数学研究三角函数的图象与性质4/5
∴ω＝8k＋143(k∈Z)，因为f(x)在区间????π6，π3上有最小值，无最大值，所以π3－π4<πω，即ω<12，
令k＝0，
得ω＝143.
7.答案34
解析取K，L中点N，则MN＝12，
因此A＝12.
由T＝2得ω＝π.
∵函数为偶函数，∴φ＝π2，
∴f(x)＝12cosπx，
f(16)＝12cosπ6＝34.
8.答案20.5
解析由题意得
??
??
?a＋A＝28，
a－A＝18，∴???
??a＝23，
A＝5，
∴y＝23＋5cos????π6?x－6?，
x＝10时，y＝23＋5×????－12＝20.5.
9.解(1)f(x)＝－2sin2x·cosπ4－2cos2x·sinπ4＋3sin2x－cos2x
＝2sin2x－2cos2x＝22sin????2x－π4.
所以，f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.
(2)因为f(x)在区间????0，3π8上是增函数，在区间????3π8，π2上是减函数.又f(0)＝－2，f????3π8＝
22，f????π2＝2，故函数f(x)在区间????0，π2上的最大值为22，最小值为－2.
10.解(1)f(x)＝32sin2ωx－12(cos2ωx＋1)
＝sin(2ωx－π6)－12，
由f(x)的周期T＝2π2ω＝π2，得ω＝2，
高考数学研究三角函数的图象与性质5/5
∴f(x)＝sin(4x－π6)－12，
由2kπ－π2≤4x－π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，
得－π12＋kπ2≤x≤π6＋kπ2(k∈Z)，
即f(x)的单调递增区间是
[－π12＋kπ2，π6＋kπ2](k∈Z).
(2)由题意，得cosx＝a
2＋c2－b2
2ac≥
2ac－ac
2ac＝
1
2，
又∵0
∴－π6<4x－π6≤7π6，
∴－12
∴－1
∴f(x)的值域为(－1，12].
有问题反馈到北京高考数学研究QQ：2777676594
|
|
