高考数学研究正弦定理和余弦定理1/4
2015一轮复习经典——（68）
正弦定理和余弦定理
1.△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a，则ba等
于.
2.(2012·湖北改编)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的
三个正整数，且A>B>C,3b＝20acosA，则sinA∶sinB∶sinC＝.
3.(2013·浙江)在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点.若sin∠BAM＝13，则sin∠BAC
＝.
4.在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则ACcosA的值等于，AC的取值范围为.
5.(2012·江苏)在△ABC中，已知AB→·AC→＝3BA→·BC→.
(1)求证：tanB＝3tanA；
(2)若cosC＝55，求A的值.
6.(2012·江西)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝π4，bsin????π4＋C－csin????π4＋B
＝a.
(1)求证：B－C＝π2；
(2)若a＝2，求△ABC的面积.
7.已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，角B所对的边b＝3，且函数f(x)＝23sin2x
＋2sinxcosx－3在x＝A处取得最大值.
(1)求f(x)的值域及周期；
(2)求△ABC的面积.
高考数学研究正弦定理和余弦定理2/4
1.答案2
解析∵asinAsinB＋bcos2A＝2a，
∴sinAsinAsinB＋sinBcos2A＝2sinA，
∴sinB＝2sinA，∴ba＝sinBsinA＝2.
2.答案6∶5∶4
解析∵A>B>C，∴a>b>c.
设a＝b＋1，c＝b－1，由3b＝20acosA得3b＝20(b＋1)×b
2＋?b－1?2－?b＋1?2
2b?b－1?.
化简，得7b2－27b－40＝0.
解得b＝5或b＝－87(舍去)，∴a＝6，c＝4.
∴sinA∶sinB∶sinC＝6∶5∶4.
3.答案63
解析因为sin∠BAM＝13，所以cos∠BAM＝223.如图，在△ABM中，利用正
弦定理，得BMsin∠BAM＝AMsinB，所以BMAM＝sin∠BAMsinB＝13sinB＝13cos∠BAC.
在Rt△ACM中，有CMAM＝sin∠CAM＝sin(∠BAC－∠BAM).由题意知BM＝CM，
所以13cos∠BAC＝sin(∠BAC－∠BAM).
化简，得22sin∠BACcos∠BAC－cos2∠BAC＝1.
所以22tan∠BAC－1tan2∠BAC＋1＝1，解得tan∠BAC＝2.
再结合sin2∠BAC＋cos2∠BAC＝1，∠BAC为锐角可解得sin∠BAC＝63.
4.答案2(2，3)
解析由正弦定理：BCsinA＝ACsinB，
∴BCsinA＝ACsin2A＝AC2sinAcosA，∴ACcosA＝2BC＝2.
∵A＋B＋C＝π，∴3A＋C＝π，C＝π－3A，
高考数学研究正弦定理和余弦定理3/4
∴
??
??
?0
0<2A<π2，
0<π－3A<π2，
∴π6
∴2
5.(1)证明因为AB→·AC→＝3BA→·BC→，
所以AB·AC·cosA＝3BA·BC·cosB，
即AC·cosA＝3BC·cosB.
由正弦定理知ACsinB＝BCsinA，从而sinBcosA＝3sinAcosB.
又因为00，cosB>0，
所以tanB＝3tanA.
(2)解因为cosC＝55，0
所以sinC＝1－cos2C＝255，
从而tanC＝2，于是tan[π－(A＋B)]＝2，
即tan(A＋B)＝－2，亦即tanA＋tanB1－tanAtanB＝－2.
由(1)得4tanA1－3tan2A＝－2，解得tanA＝1或tanA＝－13.
因为cosA>0，所以tanA＝1，所以A＝π4.
6.(1)证明由bsin????π4＋C－csin????π4＋B＝a，应用正弦定理，得sinBsin????π4＋C－sin
Csin????π4＋B＝sinA，
sinB????22sinC＋22cosC－sinC????22sinB＋22cosB＝22，
整理得sinBcosC－cosBsinC＝1，即sin(B－C)＝1.
由于0
(2)解B＋C＝π－A＝3π4，因此B＝5π8，C＝π8.
由a＝2，A＝π4，
高考数学研究正弦定理和余弦定理4/4
得b＝asinBsinA＝2sin5π8，c＝asinCsinA＝2sinπ8，
所以△ABC的面积S＝12bcsinA＝2sin5π8sinπ8＝2cosπ8sinπ8＝12.
7.解(1)因为A，B，C成等差数列，
所以2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，
所以B＝π3，即A＋C＝2π3.
因为f(x)＝23sin2x＋2sinxcosx－3
＝3(2sin2x－1)＋sin2x＝sin2x－3cos2x＝2sin????2x－π3，
所以T＝2π2＝π.
又因为sin????2x－π3∈[－1,1]，
所以f(x)的值域为[－2,2].
(2)因为f(x)在x＝A处取得最大值，
所以sin????2A－π3＝1.
因为0
故当2A－π3＝π2时，f(x)取到最大值，
所以A＝512π，所以C＝π4.
由正弦定理，知3
sinπ3
＝c
sinπ4
?c＝2.
又因为sinA＝sin????π4＋π6＝2＋64，
所以S△ABC＝12bcsinA＝3＋34.
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