高考数学研究正弦定理和余弦定理1/5
2015一轮复习经典——（73）
正弦定理和余弦定理
1．(2013·北京卷)在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝13，则sinB＝()
A.15B.59
C.53D．1
2．在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是()
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．不能确定
3．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，
且C＝60°，则ab的值为()
A.43B．8－43
C．1D.23
4．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分
别为a，b，c,23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝()
A．10B．9
C．8D．5
5．(2013·新课标全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，
b，c，已知b＝2，B＝π6，C＝π4，则△ABC的面积为()
A．23＋2B.3＋1
C．23－2D.3－1
6．(2014·湖南五市十校联考)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，
高考数学研究正弦定理和余弦定理2/5
C所对边的边长，若cosA＋sinA－2cosB＋sinB＝0，则a＋bc的值是()
A．1B.2
C.3D．2
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
7．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－14，则b＝________.
8．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a＋b－c)(a
＋b＋c)＝ab，则角C＝________.
9．(2013·福建卷)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，
sin∠BAC＝223，AB＝32，AD＝3，则BD的长为________．
三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2
＝a2＋bc.
(1)求角A的大小；
(2)若sinB·sinC＝sin2A，试判断△ABC的形状．
12．(2014·南昌模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，
c，已知sinC＋cosC＝1－sinC2.
(1)求sinC的值；
(2)若a2＋b2＝4(a＋b)－8，求边c的值．
高考数学研究正弦定理和余弦定理3/5
1.解析利用asinA＝bsinB代入计算即可．
答案B
2.解析∵sin2A＋sin2B＜sin2C，∴a2＋b2＜c2.
cosC＝a
2＋b2－c2
2ab＜0，∴C为钝角．
答案C
3.解析由(a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4.①
由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC＝2abcos60°＝ab，②
将②代入①得ab＋2ab＝4，即ab＝43.
答案A
4.解析23cos2A＋cos2A＝23cos2A＋2cos2A－1＝0，所以cos2A＝125，
因为A是锐角，所以cosA＝15，由余弦定理得49＝36＋b2－
2×6b×cosA，解得b＝5或b＝－135(舍去)，故选D.
答案D
5.解析由正弦定理得csinC＝bsinB?c＝
2×22
1
2
＝22，又sinA＝sin(B
＋C)＝sin(π6＋π4)＝6＋24，所以三角形面积为S＝12bcsinA＝12
×2×22×6＋24＝3＋1，故选B.
答案B
6.解析(cosA＋sinA)(cosB＋sinB)＝2，cosAcosB＋cosAsinB＋
sinAcosB＋sinAsinB＝cos(A－B)＋sin(A＋B)＝2，cos(A－B)＋sinC＝2.
高考数学研究正弦定理和余弦定理4/5
所以cos(A－B)＝1，sinC＝1，
所以A－B＝0且C＝90°，所以A＝B＝45°，该三角形为等腰直角三
角形，所以a＋bc＝2.
答案B
7.解析由余弦定理可得cosB＝2
2＋c2－b2
2×2c＝－
1
4，又b＋c＝7，从而
cosB＝2
2＋?7－b?2－b2
2×2×?7－b?，化简得15b＝60，解得b＝4.
答案4
8.解析由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得a2＋b2＋2ab－c2＝ab，则a2
＋b2－c2＝－ab，故cosC＝a
2＋b2－c2
2ab＝
－ab
2ab＝－
1
2，又C是三角形的
内角，所以C＝2π3.
答案2π3
9.解析∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝223，
∴BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD
＝18＋9－2×92×223＝3.∴BD＝3.
答案3
10.解(1)由已知得cosA＝b
2＋c2－a2
2bc＝
bc
2bc＝
1
2.
又角A是△ABC的内角，∴A＝π3.
(2)由正弦定理，得bc＝a2，
又b2＋c2＝a2＋bc，∴b2＋c2＝2bc.
高考数学研究正弦定理和余弦定理5/5
∴(b－c)2＝0，即b＝c.
又A＝π3，∴△ABC是等边三角形．
11.解(1)由已知得sinC＋sinC2＝1－cosC，
∴sinC2(2cosC2＋1)＝2sin2C2.
由sinC2≠0，得2cosC2＋1＝2sinC2，
∴sinC2－cosC2＝12.
两边平方，得1－sinC＝14，∴sinC＝34.
(2)由sinC2－cosC2＝12>0，得π4
即π2
由a2＋b2＝4(a＋b)－8得(a－2)2＋(b－2)2＝0，
得a＝2，b＝2.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝8＋27，
所以c＝7＋1.
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