高考数学研究正弦定理和余弦定理1/3
2015一轮复习经典——（75）
正弦定理和余弦定理
1．已知△ABC的三边长为a，b，c，且面积S△ABC＝14(b2＋c2－
a2)，则A＝()
A.π4B.π6
C.2π3D.π12
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
csinA＝acosC，则3sinA－cos(B＋π4)的最大值为()
A.2B．22
C.3D．2
3．如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝3
BD，BC＝2BD，则sinC的值为________．
4．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中
a＝2，c＝3.
(1)若sinC＝33，求sinA的值；
(2)设f(C)＝3sinCcosC－cos2C，求f(C)的取值范围．
高考数学研究正弦定理和余弦定理2/3
1.解析：因为S△ABC＝12bcsinA＝14(b2＋c2－a2)，所以sinA＝b
2＋c2－a2
2bc＝
cosA，故A＝π4.
答案：A
2.解析：由正弦定理得sinCsinA＝sinAcosC.因为00，
从而sinC＝cosC.又cosC≠0，所以tanC＝1，又0
于是3sinA－cos(B＋π4)＝3sinA－cos(π－A)＝3sinA＋cosA＝
2sin(A＋π6)，又0
π
3时，2sin(A＋
π
6)取最大值2.
答案：D
3.解析：设AB＝c，则AD＝c，BD＝2c3，BC＝4c3，在△ABD中，由
余弦定理得cosA＝
c2＋c2－43c2
2c2＝
1
3，则sinA＝
22
3.在△ABC中，由正
弦定理得csinC＝BCsinA＝
4c
3
22
3
，解得sinC＝66.
答案：66
4.解：(1)由正弦定理得asinA＝csinC，
∴sinA＝asinCc＝
2×33
3＝
2
3.
(2)在△ABC中，由余弦定理，得c2＝b2＋a2－2bacosC，
高考数学研究正弦定理和余弦定理3/3
∴3＝b2＋4－4bcosC，即b2－4cosC·b＋1＝0，由题知关于b的一元
二次方程应该有解，
令Δ＝(4cosC)2－4≥0，得cosC≤－12(舍去)或cosC≥12，
∴0
∴f(C)＝32sin2C－1＋cos2C2＝sin(2C－π6)－12(－π6<2C－π6≤π2)，
∴－1
故f(C)的取值范围为(－1，12]．
有问题反馈到北京高考数学研究QQ：2777676594
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