高考数学研究数列的概念与简单表示法1/3
2015一轮复习经典——（78）
数列的概念与简单表示法
一、填空题
1.已知数列1，3，5，7，…，2n－1，则35是它的第____________项.
2.数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝________.
3.对于数列{an}，“an＋1>|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的______________条件.
4.已知数列{an}对于任意p，q∈N，有ap＋aq＝ap＋q，若a1＝19，a36＝________.
5.已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N都有Sn＝23an－13，且1
的值为________，k的值为________.
6.已知a1＝2，an＋1－an＝2n＋1(n∈N)，则an＝________.
7.数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5＝________.
8.已知{an}是递增数列，且对于任意的n∈N，an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是
________.
二、解答题
9.数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.
(1)这个数列的第4项是多少？
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
(3)该数列从第几项开始各项都是正数？
10.已知数列{an}的通项公式为an＝9
n?n＋1?
10n，试判断此数列是否有最大项？若有，第几项最
大，最大项是多少？若没有，说明理由.
高考数学研究数列的概念与简单表示法2/3
1.答案23
解析观察知已知数列的通项公式是an＝2n－1，
令an＝2n－1＝35＝45，得n＝23.
2.答案768
解析当n≥1时，an＋1＝3Sn，则an＋2＝3Sn＋1，
∴an＋2－an＋1＝3Sn＋1－3Sn＝3an＋1，即an＋2＝4an＋1，
∴该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列.
又a2＝3S1＝3a1＝3，∴an＝
??
??
?1?n＝1?，
3×4n－2?n≥2?.
∴当n＝6时，a6＝3×46－2＝3×44＝768.
3.答案充分不必要
解析当an＋1>|an|(n＝1,2，…)时，∵|an|≥an，∴an＋1>an，∴{an}为递增数列.当{an}为递
增数列时，若该数列为－2，0,1，，则a2>|a1|不成立，即知：an＋1>|an|(n＝1,2，…)不一定
成立.故综上知，“an＋1>|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件.
4.答案4
解析∵ap＋q＝ap＋aq，
∴a36＝a32＋a4＝2a16＋a4＝4a8＋a4＝8a4＋a4＝18a2＝36a1＝4.
5.答案－14
解析当n＝1时，a1＝23a1－13，∴a1＝－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝23an－13－????23an－1－
1
3＝
2
3an－
2
3an－1，∴
an
an－1＝－2，
∴数列{an}是首项为－1，公比为－2的等比数列，
∴an＝－(－2)n－1，Sn＝－23×(－2)n－1－13.
由1<－23×(－2)k－1－13<9，得－14<(－2)k－1<－2，
又k∈N，∴k＝4.
6.答案n2＋1
解析由an＋1－an＝2n＋1(n∈N)，得an－an－1＝2n－1，an－1－an－2＝2n－3，…，a3－a2
＝5，a2－a1＝3，将以上各式相加，得an－a1＝3＋5＋…＋(2n－3)＋(2n－1)，即an＝1＋1
＋3＋5＋…＋(2n－1)＝1＋?1＋2n－1?n2＝n2＋1.
7.答案6116
高考数学研究数列的概念与简单表示法3/3
解析由题意知：a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2，
∴an＝(nn－1)2(n≥2)，
∴a3＋a5＝(32)2＋(54)2＝6116.
8.答案(－3，＋∞)
解析方法一(定义法)
因为{an}是递增数列，所以对任意的n∈N，都有an＋1>an，
即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，整理，得
2n＋1＋λ>0，即λ>－(2n＋1).()
因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式()恒成立，只需λ>－3.
方法二(函数法)
设f(n)＝an＝n2＋λn，其图象的对称轴为直线n＝－λ2，
要使数列{an}为递增数列，只需使定义在正整数上的函数f(n)为增函数，
故只需满足f(1)－3.
9.解(1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.
(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，
解得n＝16或n＝－9(舍去)，
即150是这个数列的第16项.
(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍).
故数列从第7项起各项都是正数.
10.解an＋1－an＝9
n＋1?n＋2?
10n＋1－
9n?n＋1?
10n＝
9n
10n·
8－n
10，
当n<8时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n＝8时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>8时，an＋1－an<0，即an＋1
则a1a10>a11>…，
故数列{an}有最大项，为第8项和第9项，
且a8＝a9＝9
8×9
108＝
99
108.
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