高考数学研究等差数列及其前n项和1/6
2015一轮复习经典——（84）
等差数列及其前n项和
一、填空题
1．在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.[来源
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S412－S39＝1，则公差为________．
3．在等差数列{an}中，a1＞0，S4＝S9，则Sn取最大值时，n＝________.
4．在等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则S9＝________.
5．设等差数列{an}的公差为正数，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12
＋a13＝________.
6．已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n2＋pn，a7＝11.若ak＋ak＋1＞12，则正整数
k的最小值为________．
7．已知数列{an}满足递推关系式an＋1＝2an＋2n－1(n∈N)，且??????????an＋λ2n为等差数列，
则λ的值是________．
8．已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a7－a5＝4，a11＝21，Sk＝9，则
k＝________.
9．设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若对任意自然数n都有SnT
n
＝
2n－3
4n－3，则
a9
b5＋b7＋
a3
b8＋b4的值为________．
10．已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f(x·y)
＝xf(y)＋yf(x)成立．数列{an}满足an＝f(2n)(n∈N)，且a1＝2.则数列的通项公
式an＝________.
二、解答题
11．已知等差数列{an}的前三项为a－1,4,2a，记前n项和为Sn.
(1)设Sk＝2550，求a和k的值；
(2)设bn＝Snn，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1的值．
高考数学研究等差数列及其前n项和2/6
12．已知数列{an}的通项公式为an＝2n，若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项
和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
13．在等差数列{an}中，公差d＞0，前n项和为Sn，a2·a3＝45，a1＋a5＝18.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝Snn＋c(n∈N)，是否存在一个非零常数c，使数列{bn}也为等差数列？
若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．
14．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1－14a
n
，bn＝22a
n－1
，其中n∈N.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)设cn＝(2)bn，试问数列{cn}中是否存在三项，使它们可以构成等差数列？
如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由．
高考数学研究等差数列及其前n项和3/6
1.解析a2＋a4＋a6＋a8＝2(a3＋a7)＝74.
答案74
2.解析依题意得S4＝4a1＋4×32d＝4a1＋6d，S3＝3a1＋3×22d＝3a1＋3d，于是有
4a1＋6d
12－
3a1＋3d
9＝1，由此解得d＝6，即公差为6.[来源:学,科,网]
答案6
3.解析因为a1＞0，S4＝S9，所以a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0，所以a7＝0，所以
??
?a6＞0，
a8＜0，从而当n＝6或7时Sn取最大值．
答案6或7
4.解析∵a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，∴3a4＝39,3a6＝27，∴a4＝13，a6
＝9.∴a6－a4＝2d＝9－13＝－4，∴d＝－2，
∴a5＝a4＋d＝13－2＝11，∴S9＝9?a1＋a9?2＝9a5＝99.
答案99
5.解析由15＝a1＋a2＋a3＝3a2，得a2＝5.所以???
a1＋a3＝10，
a1a3＝16.又公差d＞0，所
以???
a1＝2，
a3＝8.所以d＝3.所以a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a1＋11d)＝3(2＋33)＝3×35
＝105.
答案105
6.解析因为a7＝S7－S6＝2×72＋7p－2×62－6p＝26＋p＝11，所以p＝－15，
Sn＝2n2－15n，an＝Sn－Sn－1＝4n－17(n≥2)，当n＝1时也满足．于是由ak＋ak＋1
＝8k－30＞12，得k＞214＞5.又k∈N，所以k≥6，即kmin＝6.
答案6
7.解析由an＋1＝2an＋2n－1，可得an＋12n＋1＝an2n＋12－12n＋1，则an＋1＋λ2n＋1－an＋λ2n＝an＋12n＋1－
an
2n－
λ
2n＋1＝
1
2－
1
2n＋1－
λ
2n＋1＝
1
2－
λ＋1
2n＋1，当λ的值是－1时，数列???
??
??
??
?an－1
2n是公差为
1
2的
高考数学研究等差数列及其前n项和4/6
等差数列．
答案－1
8.解析a7－a5＝2d＝4，d＝2，a1＝a11－10d＝21－20＝1，
Sk＝k＋k?k－1?2×2＝k2＝9.
又k∈N，故k＝3.
答案3
9.解析∵{an}，{bn}为等差数列，
∴a9b
5＋b7
＋a3b
8＋b4
＝a92b
6
＋a32b
6
＝a9＋a32b
6
＝2a62b
6
＝a6b
6
.
∵S11T
11
＝a1＋a11b
1＋b11
＝2a62b
6
＝2×11－34×11－3＝1941，
∴a6b
6
＝1941.
答案1941
10.解析由an＋1＝f(2n＋1)＝2f(2n)＋2nf(2)＝2an＋2n＋1，得an＋12n＋1＝an2n＋1，所以??????an2n是
首项为1，公差为1的等差数列，所以an2n＝n，an＝n·2n.
答案n·2n
11.解(1)由已知得a1＝a－1，a2＝4，a3＝2a，
又a1＋a3＝2a2，∴(a－1)＋2a＝8，即a＝3.
∴a1＝2，公差d＝a2－a1＝2.
由Sk＝ka1＋k?k－1?2d，得
2k＋k?k－1?2×2＝2550，
即k2＋k－2550＝0，
解得k＝50或k＝－51(舍去)．
∴a＝3，k＝50.
(2)由Sn＝na1＋n?n－1?2d得
高考数学研究等差数列及其前n项和5/6
Sn＝2n＋n?n－1?2×2＝n2＋n.
∴bn＝Snn＝n＋1，∴{bn}是等差数列，
则b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1
＝(3＋1)＋(7＋1)＋(11＋1)＋…＋(4n－1＋1)
＝?4＋4n?n2.
∴b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1＝2n2＋2n.
12.解a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32.
设{bn}的公差为d，则有???
b1＋2d＝8，
b1＋4d＝32.
解得???b1＝－16.d＝12.
从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28.
所以数列{bn}的前n项和
Sn＝n?－16＋12n－28?2＝6n2－22n.
13.解(1)由题设，知{an}是等差数列，且公差d＞0，
则由???a2a3＝45，a
1＋a5＝18，
得????a1＋d??a1＋2d?＝45，a
1＋?a1＋4d?＝18.
解得???
a1＝1，
d＝4.∴an＝4n－3(n∈N
)．
(2)由bn＝Snn＋c＝
n?1＋4n－3?
2
n＋c＝
2n??????n－12
n＋c，
∵c≠0，∴可令c＝－12，得到bn＝2n.
∵bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2(n∈N)，
∴数列{bn}是公差为2的等差数列．
即存在一个非零常数c＝－12，使数列{bn}也为等差数列．
高考数学研究等差数列及其前n项和6/6
14.(1)证明因为bn＋1－bn＝22a
n＋1－1
－22a
n－1
＝
2
2??????1－14an－1
－22a
n－1
＝4an2a
n－1
－22a
n－1
＝2(n∈N)，且b1＝22×1－1＝2所以，
数列{bn}以2为首项，2为公差的是等差数列．
(2)解由(1)得cn＝(2)bn＝2n，
假设{cn}中存在三项cm，cn，cp(其中m＜n＜p，m，n，p∈N)成等差数列，则2·2n
＝2m＋2p，
所以2n＋1＝2m＋2p,2n－m＋1＝1＋2p－m.
因为m＜n＜p，m，n，p∈N，所以n－m＋1，p－m∈N，
从而2n－m＋1为偶数，1＋2p－m为奇数，所以2n－m＋1与1＋2p－m不可能相等，所以
数列{cn}中不存在可以构成等差数列的三项.
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