高考数学研究等差数列及其前n项和1/7
2015一轮复习经典——(89)
等差数列及其前n项和
一、选择题
1.(2013·山东滨州模拟)已知{an}为等差数列,若a3+a4+a8=9,则
S9=()
A.24B.27
C.15D.54
2.(2013·汕头质量测评)在等差数列{an}中,首项a1=0,公差d≠0,
若ak=a1+a2+a3+…+a10,则k=()
A.45B.46
C.47D.48
3.(2013·河北唐山一中第二次月考)在等差数列{an}中,前n项的和
为Sn,若2a8=6+a11,则S9=()
A.54B.45
C.36D.27
4.(2013·江西联考)等差数列{an}的前n项的和为Sn,且a2013=S2013
=2013,则a1的值为()
A.2012B.-2012
C.2011D.-2011
5.(2013·江西八校联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足
S15>0,S16<0,则S1a
1
、S2a
2
、S3a
3
…S15a
15
中最大项为()
A.S6a
6
B.S7a
7
C.S8a
8
D.S9a
9
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6.(2013·青岛市高三自评试题)已知数列{an}是以3为公差的等差数
列,Sn是其前n项和,若S10是数列{Sn}中的惟一最小项,则数列{an}
的首项a1的取值范围是()
A.[-30,27]B.(30,33)
C.(-30,-27)D.[30,33]
二、填空题
7.(2013·广东卷)在等差数列{an}中,已知a3+a8=10,则3a5+a7=
________.
8.(2013·潍坊模拟)现有一根n节的竹竿,自上而下每节的长度依次
构成等差数列,最上面一节长为10cm,最下面的三节长度之和为114
cm,第6节的长度是首节与末节长度的等比中项,则n=________.
9.(2013·浙江金华十校模拟)已知数列{an}是公差为1的等差数列,
Sn是其前n项和,若S8是数列{Sn}中的惟一最小项,则数列{an}的首
项a1的取值范围是________.
三、解答题
10.在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2).
(1)求证:数列{1a
n
}是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
高考数学研究等差数列及其前n项和3/7
11.(1)在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,
求当n取何值时,Sn有最大值,并求出它的最大值.
(2)已知数列{an}的通项公式是an=4n-25,求数列{|an|}的前n项和.
12.(2013·石家庄第二次模拟)已知公差不为0的等差数列{an}的首项
为2,且a1,a2,a4成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=1?a
n+1?
2-1(n∈N
),求数列{b
n}的前n项和.
13.(1)(2013·江西省宜春市高三模拟考试)在等差数列{an}中,a1=-
2013,其前n项和为Sn,若S20142014-S20122012=2,则S2013的值等于()
A.-2013B.-2012C.2012D.2013
(2)(2013·湖北八市调考)如图表中数阵为“森德拉姆素数筛”,其特
点是每行每列都成等差数列,记第i行第j列的数为aij(i,j∈N),则
234567…
35791113…
4710131619…
5913172125…
61116212631…
71319253137…
…………………
①a99=________;
②表中数82共出现________次.
高考数学研究等差数列及其前n项和4/7
1.解析:数列{an}为等差数列,∴a3+a4+a8=3a5=9,∴S9=9a5=3×9
=27.选B.
答案:B
2.解析:ak=a1+a2+…+a10=d+2d+…+9d=45d=a46,∴k=46,
选B.
答案:B
3.解析:由已知等差数列{an}中,2a8=6+a11,∴2a1+14d=6+a1+
10d,∴a5=6,而S9=9a5=54,故选A.
答案:A
4.解析:S2013=2013?a1+a2013?2=2013,∴a1=2-2013=-2011,
选D.
答案:D
5.解析:由数列{an}为等差数列,可得S15=15?a1+a15?2=15a8>0,故
a8>0,S16=16?a1+a16?2<0,故a1+a16<0,由等差数列的基本性质:a1
+a16=a2+a15=…=a8+a9,所以a9<0,可推知在数列{an}中,首项
a1>0,d<0.则{an}为递减数列,有S1a2>…>a8>0>a9,
故S8a
8
最大.
答案:C
6.解析:由已知S10为数列{Sn}中的惟一最小项,可得a10=a1+9d=
a1+27<0?a1<-27,a11=a1+10d=a1+30>0?a1>-30,故选C.
答案:C
7.解析:利用等差数列的性质可快速求解.因为a3+a8=10,所以3a5
高考数学研究等差数列及其前n项和5/7
+a7=2(a3+a8)=20.
答案:20
8.解析:由题意可知a1=10,3an-1=114,即an-1=38,a26=a1·an,即
(10+5d)2=10(38+d)(d>0)解得d=2,an-1=10+2(n-2)=38,∴n
=16.
答案:16
9.解析:由已知可知等差数列{an}中,a8<0,a9>0,故可得a1+7<0,
a1+8>0?-8 答案:(-8,-7)
10.解:(1)证明:因为3anan-1+an-an-1=0(n≥2),
整理得1a
n
-1a
n-1
=3(n≥2).
所以数列{1a
n
}是以1为首项,3为公差的等差数列.
(2)由(1)可得1a
n
=1+3(n-1)=3n-2,
所以an=13n-2.
11.解:(1)由a1=20,S10=S15,解得公差d=-53.
∵S10=S15,∴S15-S10=a11+a12+a13+a14+a15=0.
∵a11+a15=a12+a14=2a13,∴a13=0,
又∵a1>0,
∴a1、a2、…、a11、a12均为正数,而a14及以后各项均为负数.
∴当n=12或13时,Sn有最大值,为S12=S13=130.
(2)∵an=4n-25,an+1=4(n+1)-25,
∴an+1-an=4=d,又a1=4×1-25=-21.
高考数学研究等差数列及其前n项和6/7
所以数列{an}是以-21为首项,以4为公差的递增的等差数列,
令
??
??
?an=4n-25<0,
an+1=4?n+1?-25≥0,
①
②
由①得n<614;由②得n≥514,所以n=6.
即数列{|an|}的前6项是以21为首项,公差为-4的等差数列,从第
7项起以后各项构成公差为4的等差数列,
而|a7|=a7=4×7-24=3.
设{|an|}的前n项和为Tn,则
Tn=
?
??
21n+n?n-1?2×?-4?,n≤6
66+3?n-6?+?n-6??n-7?2×4,n≥7
=
??
??
?-2n2+23n,n≤6,
2n2-23n+132,n≥7.
12.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,由(a2)2=a1·a4,
又首项为2,得(a1+d)2=a1(a1+3d),
因为d≠0,所以d=2,
所以an=2n.
(2)设数列{bn}的前n项和Tn,由(1)知an=2n,
所以bn=1?a
n+1?
2-1=
1
?2n+1?2-1
=14·1n?n+1?=14·??????1n-1n+1,
所以Tn=14·??????1-12+12-13+…+1n-1n+1
高考数学研究等差数列及其前n项和7/7
=14·??????1-1n+1=n4?n+1?,
即数列{bn}的前n项和Tn=n4?n+1?.
13.解析:(1)由S20142014-S20122012=2可得a1+a20142-a1+a20122=2,即d=2
a2013=a1+(2013-1)×2=2011,S2013=2013?a1+a2013?2=-2013,
故选A.
(2)①由“森德拉姆素数筛”知,每一列从上到下都构成等差数列,
且第1列的公差是1;每一行从左到右都构成等差数列,第1行的公
差是1,第2行的公差是2,第3行的公差是3,…,第9行的公差
是9,因此第9行的前9个数分别为10,19,28,37,46,55,64,73,82,则
aij=i·j+1=82,即a99=9×9+1=82.
②由①得,a99=i·j+1=82(i,j∈N),即i·j=81,
由于82=1×82=82×1=3×27=27×3=9×9,故数阵中82出现5
次.
答案:(1)A(2)①82②5
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