高考数学研究等差数列及其前n项和1/6
2015一轮复习经典——（90）
等差数列及其前n项和
一、选择题
1．{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和．若S10＝S11，则a1＝()
A．18B．20
C．22D．24
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值
时，n等于()．
A．6B．7C．8D．9
3．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于()．
A．－1B．1C．3D．7
4．在等差数列{an}中，S15>0，S16<0，则使an>0成立的n的最大值为
()．
A．6B．7C．8D．9
5．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k
＝()．
A．8B．7C．6D．5
6．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且AnB
n
＝7n＋45n＋3，则
使得anb
n
为整数的正整数的个数是()．
A．2B．3C．4D．5
二、填空题
7．已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a7－a5＝4，a11＝21，Sk＝9，则
k＝________.
8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S412－S39＝1，则公差为________．
9．在等差数列{an}中，a1＝－3,11a5＝5a8－13，则数列{an}的前n项和Sn的最小
值为________．
高考数学研究等差数列及其前n项和2/6
10．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数
列的中间项是________，项数是________．
三、解答题
11．设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满
足S5S6＋15＝0.
(1)若S5＝5，求S6及a1；
12．在等差数列{an}中，公差d＞0，前n项和为Sn，a2·a3＝45，a1＋a5＝18.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝Snn＋c(n∈N)，是否存在一个非零常数c，使数列{bn}也为等差数列？
若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．
13．在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2＋an＝2an＋1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Sn是数列{|an|}的前n项和，求Sn.
14．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2an＝S2＋Sn对一切正整数n都成立．
(1)求a1，a2的值；
(2)设a1＞0，数列??????lg10a1an的前n项和为Tn.当n为何值时，Tn最大？并求出
Tn的最大值．
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1.解析由S10＝S11得a11＝S11－S10＝0，a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝
20.
答案B
2.解析由a4＋a6＝a1＋a9＝－11＋a9＝－6，得a9＝5，从而d＝2，所以Sn＝－11n
＋n(n－1)＝n2－12n＝(n－6)2－36，因此当Sn取得最小值时，n＝6.
答案A
3.解析两式相减，可得3d＝－6，d＝－2.由已知可得3a3＝105，a3＝35，所以
a20＝a3＋17d＝35＋17×(－2)＝1.
答案B
4.解析依题意得S15＝15?a1＋a15?2＝15a8>0，即a8>0；S16＝16?a1＋a16?2＝8(a1＋
a16)＝8(a8＋a9)<0，即a8＋a9<0，a9<－a8<0.因此使an>0成立的n的最大值是8，
选C.
答案C
5.解析由a1＝1，公差d＝2得通项an＝2n－1，又Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2，所以2k
＋1＋2k＋3＝24，得k＝5.
答案D
6.解析由AnB
n
＝7n＋45n＋3得：anb
n
＝A2n－1B
2n－1
＝14n＋382n＋2＝7n＋19n＋1，要使anb
n
为整数，则需
7n＋19
n＋1＝7＋
12
n＋1为整数，所以n＝1,2,3,5,11，共有5个．
答案D
7.解析a7－a5＝2d＝4，d＝2，a1＝a11－10d＝21－20＝1，
Sk＝k＋kk－2×2＝k2＝9.又k∈N，故k＝3.
答案3
8.解析依题意得S4＝4a1＋4×32d＝4a1＋6d，S3＝3a1＋3×22d＝3a1＋3d，于是有
4a1＋6d
12－
3a1＋3d
9＝1，由此解得d＝6，即公差为6.
答案6
高考数学研究等差数列及其前n项和4/6
9.解析(直接法)设公差为d，则11(－3＋4d)＝5(－3＋7d)－13，
所以d＝59，所以数列{an}为递增数列．
令an≤0，所以－3＋(n－1)·59≤0，所以n≤325，
又n∈N，前6项均为负值，
所以Sn的最小值为－293.
答案－293
10.解析设等差数列{an}的项数为2n＋1，
S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝?n＋1??a1＋a2n＋1?2＝(n＋1)an＋1，
S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝n?a2＋a2n?2＝nan＋1，
∴S奇S
偶
＝n＋1n＝4433，解得n＝3，∴项数2n＋1＝7，S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33
＝11为所求中间项．
答案117
(2)求d的取值范围．
11.解(1)由题意知S6＝－15S
5
＝－3，a6＝S6－S5＝－8，
所以???5a1＋10d＝5，a
1＋5d＝－8.
解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7.
(2)因为S5S6＋15＝0，所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a21＋9da1＋10d2
＋1＝0，
故(4a1＋9d)2＝d2－8，所以d2≥8.
故d的取值范围为d≤－22或d≥22.
12.解(1)由题设，知{an}是等差数列，且公差d＞0，
高考数学研究等差数列及其前n项和5/6
则由???a2a3＝45，a
1＋a5＝18，
得????a1＋d??a1＋2d?＝45，a
1＋?a1＋4d?＝18.
解得???a1＝1，d＝4.∴an＝4n－3(n∈N)．
(2)由bn＝Snn＋c＝
n?1＋4n－3?
2
n＋c＝
2n??????n－12
n＋c，
∵c≠0，∴可令c＝－12，得到bn＝2n.
∵bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2(n∈N)，
∴数列{bn}是公差为2的等差数列．
即存在一个非零常数c＝－12，使数列{bn}也为等差数列．
13.解(1)由2an＋1＝an＋2＋an可得{an}是等差数列，
且公差d＝a4－a14－1＝2－83＝－2.
∴an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋10.
(2)令an≥0，得n≤5.
即当n≤5时，an≥0，n≥6时，an<0.
∴当n≤5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an＝－n2＋9n；
当n≥6时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)
＝－(a1＋a2＋…＋an)＋2(a1＋a2＋…＋a5)
＝－(－n2＋9n)＋2×(－52＋45)
＝n2－9n＋40，
∴Sn＝???
－n2＋9n，n≤5，
n2－9n＋40，n≥6.
14.解(1)取n＝1，得a2a1＝S2＋S1＝2a1＋a2，①
取n＝2，得a22＝2a1＋2a2，②
由②－①，得a2(a2－a1)＝a2，③
高考数学研究等差数列及其前n项和6/6
(i)若a2＝0，由①知a1＝0，
(ii)若a2≠0，由③知a2－a1＝1.④
由①、④解得，a1＝2＋1，a2＝2＋2；或a1＝1－2，a2＝2－2.
综上可得a1＝0，a2＝0；或a1＝2＋1，a2＝2＋2；或a1＝1－2，a2＝2－2.
(2)当a1＞0时，由(1)知a1＝2＋1，a2＝2＋2.
当n≥2时，有(2＋2)an＝S2＋Sn，(2＋2)an－1＝S2＋Sn－1，
所以(1＋2)an＝(2＋2)an－1，即an＝2an－1(n≥2)，
所以an＝a1(2)n－1＝(2＋1)·(2)n－1.
令bn＝lg10a1a
n
，
则bn＝1－lg(2)n－1＝1－12(n－1)lg2＝12lg1002n－1，
所以数列{bn}是单调递减的等差数列(公差为－12lg2)，
从而b1＞b2＞…＞b7＝lg108＞lg1＝0，
当n≥8时，bn≤b8＝12lg100128＜12lg1＝0，
故n＝7时，Tn取得最大值，且Tn的最大值为
T7＝7?b1＋b7?2＝7?1＋1－3lg2?2＝7－212lg2.
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