高考数学研究等比数列及其前n项和1/4
2015一轮复习经典——（93）
等比数列及其前n项和
1.已知{an}是首项为1的等比数列，若Sn是{an}的前n项和，且28S3＝S6，则数列??????1a
n
的前4
项和为________.
2.在等差数列{an}中，a1＝1，a7＝4，数列{bn}是等比数列.已知b2＝a3，b3＝1a
2
，则满足bn<1a
80
的最小自然数n的值是________.
3.已知数列{an}满足a1＝0，a2＝1，an＋2＝3an＋1－2an，则{an}的前n项和Sn＝________.
4.(2013·福建改编)已知等比数列{an}的公比为q，记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m，
cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N)，则以下结论一定正确的是________.(填序号)
①数列{bn}为等差数列，公差为qm
②数列{bn}为等比数列，公比为q2m
③数列{cn}为等比数列，公比为qm2
④数列{cn}为等比数列，公比为qmm
5.在数列{an}中，已知a1＝1，an＝2(an－1＋an－2＋…＋a2＋a1)(n≥2，n∈N)，这个数列的通
项公式是_________________________________________________.
6.已知在正项数列{an}中，a1＝2，点An(an，an＋1)在双曲线y2－x2＝1上，数列{bn}中，
点(bn，Tn)在直线y＝－12x＋1上，其中Tn是数列{bn}的前n项和.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：数列{bn}是等比数列.
7.(2013·天津)已知首项为32的等比数列{an}不是．．递减数列，其前n项和为Sn(n∈N)，且S3＋
a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝Sn－1S
n
(n∈N)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.
高考数学研究等比数列及其前n项和2/4
1.答案4027
解析设数列{an}的公比为q.
当q＝1时，由a1＝1，得28S3＝28×3＝84.
而S6＝6，两者不相等，因此不合题意.
当q≠1时，由28S3＝S6及首项为1，得28?1－q
3?
1－q＝
1－q6
1－q.解得q＝3.所以数列{an}的通项
公式为an＝3n－1.
所以数列??????1a
n
的前4项和为1＋13＋19＋127＝4027.
2.答案7
解析由已知得an＝n＋12，bn＝6×(13)n－1，
∴bn<1a
80
＝281，∴6×(13)n－1<281，
∴(13)n－1<1243＝(13)5，∴n>6.
3.答案2n－n－1
解析∵an＋2＝3an＋1－2an，
∴an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，∴an＋2－an＋1a
n＋1－an
＝2，
∴数列{an＋1－an}，是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴an＋1－an＝2n－1，
∴a2－a1＝20，a3－a2＝21，a4－a3＝22，…，an－an－1＝2n－2，
∴an－a1＝20＋21＋…＋2n－2＝1－2
n－1
1－2＝2
n－1－1，
∴an＝2n－1－1，
∴Sn＝(20＋21＋…＋2n－1)－n＝1－2
n
1－2－n＝2
n－n－1.
4.答案③
解析∵bn＝am(n－1)(q＋q2＋…＋qm)
∴bn＋1b
n
＝amn?q＋q
2＋…＋qm?
am?n－1??q＋q2＋…＋qm?＝
amn
am?n－1?＝q
m(常数).
bn＋1－bn不是常数.
又∵cn＝(am(n－1))mq1＋2＋…＋m＝(am(n－1)21?mq)m，
高考数学研究等比数列及其前n项和3/4
∴cn＋1c
n
＝(amna
m?n－1?
)m＝(qm)m＝qm2(常数).
cn＋1－cn不是常数.
∴③正确.
5.答案an＝
??
??
?1，n＝1
2×3n－2，n≥2
解析由已知n≥2时，an＝2Sn－1①
当n≥3时，an－1＝2Sn－2②
①－②整理得ana
n－1
＝3(n≥3)，
∴an＝
??
??
?1，n＝1，
2×3n－2，n≥2.
6.(1)解由已知点An在y2－x2＝1上知，an＋1－an＝1，
∴数列{an}是一个以2为首项，以1为公差的等差数列，
∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋n－1＝n＋1.
(2)证明∵点(bn，Tn)在直线y＝－12x＋1上，
∴Tn＝－12bn＋1，①
∴Tn－1＝－12bn－1＋1(n≥2)，②
①②两式相减得bn＝－12bn＋12bn－1(n≥2)，
∴32bn＝12bn－1，∴bn＝13bn－1(n≥2).
令n＝1，得b1＝－12b1＋1，∴b1＝23，
∴{bn}是一个以23为首项，以13为公比的等比数列.
7.解(1)设等比数列{an}的公比为q，
因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，
所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，
于是q2＝a5a
3
＝14.
又{an}不是递减数列且a1＝32，所以q＝－12.
故等比数列{an}的通项公式为
高考数学研究等比数列及其前n项和4/4
an＝32×????－12n－1＝(－1)n－1·32n.
(2)由(1)得Sn＝1－????－12n＝
?
??
1＋12n，n为奇数，
1－12n，n为偶数.
当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，
所以1
故0
n
≤S1－1S
1
＝32－23＝56.
当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，
所以34＝S2≤Sn<1，
故0>Sn－1S
n
≥S2－1S
2
＝34－43＝－712.
综上，对于n∈N，总有－712≤Sn－1S
n
≤56.
所以数列{Tn}最大项的值为56，最小项的值为－712.
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