高考数学研究等比数列及其前n项和1/7
2015一轮复习经典——（96）
等比数列及其前n项和
一、选择题
1．(2013·湖北武汉调研测试)公比为2的等比数列{an}的各项都
是正数，且a3a11＝16，则a5＝()
A．1B．2
C．4D．8
2．(2013·郑州第二次质量预测)在数列{an}中，an＋1＝can(c为非
零常数)，前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k为()
A．－1B．0
C．1D．2
3．(2013·海淀第二学期期末练习)已知数列{an}是公比为q的等
比数列，且a1·a3＝4，a4＝8，则a1＋q的值为()
A．3B．2
C．3或－2D．3或－3
4．(2013·福州质检)已知等比数列{an}的公比q＝2，且2a4，a6,48
成等差数列，则{an}的前8项和为()
A．127B．255
C．511D．1023
5．(2013·宁波市高三“十校”联考)若方程x2－5x＋m＝0与x2
－10x＋n＝0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数
列，则m∶n值为()
高考数学研究等比数列及其前n项和2/7
A.14B.12
C．2D．4
6．(2013·黄冈模拟)已知数列{an}，{bn}满足an，an＋1是函数f(x)
＝x2＋bnx＋2n的两个零点，且a1＝1，则b10＝()
A．－64B．－32
C．－48D．64
二、填空题
7．(2013·茂名市第一次模拟)已知等比数列{an}的公比q为正数，
且a3·a9＝2a25，则q＝________.
8．(2013·北京东城综合练习(二))各项均为正数的等比数列{an}
的前n项和为Sn，若a3＝2，S4＝5S2，则a1的值为________，S4的值
为________．
9．(2013·河北邯郸高三月考)设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N)，
关于数列{an}有下列四个命题：
①若{an}既是等差数列又是等比数列，则an＝an＋1(n∈N)；
②若Sn＝an2＋bn(a，b∈R)，则{an}是等差数列；
③若Sn＝1－(－1)n，则{an}是等比数列；
④若{an}是等比数列，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m(m∈N)也成等
比数列．
其中正确的命题是________．(填上正确命题的序号)
三、解答题
10．已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9
成等比数列．
(1)求数列{an}的通项；
高考数学研究等比数列及其前n项和3/7
(2)求数列{2an}的前n项和Sn.
11．(2013·乌鲁木齐第一次诊断)已知数列{an}、{bn}分别是首项
均为2，各项均为正数的等比数列和等差数列，且b2＝4a2，a2b3＝6.
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；
(2)求使abn<0.001成立的最小的n值．
12．(2012·山东卷)在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对任意m∈N，将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记
为bm，求数列{bm}的前m项和Sm.
13.
(1)(2013·湖北七市联考)如图，一单位正方体形积木，平放于桌
面上，并且在其上方位置若干个小正方体形积木摆成塔形，其中上面
正方体中下底面的四个顶点是下面相邻正方体中上底面各边的中点，
如果所有正方体暴露在外面部分的面积之和超过8.8，则正方体的个
数至少是()
A．6B．7
C．8D．10
高考数学研究等比数列及其前n项和4/7
(2)(2013·河南十所名校第三次联考)设数列{an}是等差数列，数列
{bn}是等比数列，记数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn.若a5＝
b5，a6＝b6，且S7－S5＝4(T6－T4)，则a7＋a5b
7＋b5
＝________.
1.解析：∵公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，a3a11＝16，∴
a27＝16，a7＝4，∴22·a5＝4，则a5＝1，选A.
答案：A
2.解析：由an＋1＝can知数列{an}为等比数列，公比为c，等比数列的
前n项和为Sn＝a11－c－a11－c·cn＝3n＋k，∴k＝－1，选A.
答案：A
3.解析：由{an}为等比数列，a1·a3＝a21q2＝4，a1q3＝8得q4＝16，q＝±2，
当q＝2时，a1＝1，此时a1＋q＝3；当q＝－2时，a1＝－1，此时a1
＋q＝－3，故选D.
答案：D
4.解析：由已知q＝2,2a6＝2a4＋48可得a1＝1，S8＝a1?1－q
8?
1－q＝255，
故选B.
答案：B
5.解析：不妨设方程x2－5x＋m＝0的两根分别为x1、x2，则x1＋x2＝
5，x1x2＝m，方程x2－10x＋n＝0的两根为x3，x4，则x3＋x4＝10，x3·x4
＝n，且此数列公比为q，|q|>1，此数列为x1，x3，x2，x4，则x1＝1，
x2＝4，x3＝2，x4＝8，此时m＝4，n＝16，∴m∶n＝14.
高考数学研究等比数列及其前n项和5/7
答案：A
6.解析：由已知an，an＋1为f(x)＝x2＋bnx＋2n的两个零点，易得an＋
an＋1＝－bn①，an·an＋1＝2n②，由②得an＋1·an＋2＝2n＋1③，则③②＝
an＋2
an＝2，故{an}为隔项成等比数列，a1＝1，a11＝a1·2
5＝32，a
10＝a2·2
4
＝25＝32，故b10＝－(a10＋a11)＝－64.
答案：A
7.解析：由等比数列性质知a3·a9＝a26＝2a25，∴q2＝a
2
6
a25＝2，∵q>0，∴
q＝2.
答案：2
8.解析：由a3＝2，S4＝5S2可得q≠1，a1?1－q
4?
1－q＝5·
a1?1－q2?
1－q?q＝2，
故a1＝12；S4＝
1
2?1－2
4?
1－2＝
15
2.
答案：12152
9.解析：①若{an}既是等差数列又是等比数列，{an}为非零常数列，
故an＝an＋1(n∈N)；②若{an}是等差数列，Sn
＝d2n2＋??????a1－d2n为an2＋bn(a，b∈R)的形式；③若Sn＝1－(－1)n，则
n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝1－(－1)n－1＋(－1)n－1＝(－1)n－1－(－1)n，而
a1＝2，适合上述通项公式，所以an＝(－1)n－1－(－1)n是等比数列；
④若{an}是等比数列，当公比q＝－1且m为偶数时，Sm，S2m－Sm，
S3m－S2m不成等比数列．
答案：①②③
高考数学研究等比数列及其前n项和6/7
10.解：(1)由题设知公差d≠0，
由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得1＋2d1＝1＋8d1＋2d，
解得d＝1，d＝0(舍去)，
故{an}的通项an＝1＋(n－1)×1＝n.
(2)由(1)知2an＝2n，由等比数列前n项和公式得
Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝2?1－2
n?
1－2＝2
n＋1－2.
11.解：(1)设{an}的公比为q，{bn}的公差为d，依题意得
??
??
?2＋d＝4×2q
?2＋2d?·2q＝6，
解得
?
??
d＝2
q＝12，或??
?d＝－5
q＝－38(舍)，∴an＝??
?
??
?1
2
n－2，b
n＝2n.
(2)由(1)得abn＝a2n＝??????122n－2，
∵abn<0.001，即??????122n－2<0.001，∴22n－2>1000，
∴2n－2≥10，即n≥6，∴最小的n值为6.
12.解：(1)因为{an}是一个等差数列，所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84，a4
＝28.
设数列{an}的公差为d，
则5d＝a9－a4＝73－28＝45，故d＝9.
由a4＝a1＋3d得28＝a1＋3×9，即a1＝1.
所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8(n∈N)．
(2)对m∈N，若9m
则9m＋8<9n<92m＋8.
高考数学研究等比数列及其前n项和7/7
因此9m－1＋1≤n≤92m－1，故得bm＝92m－1－9m－1.
于是Sm＝b1＋b2＋b3＋…＋bm
＝(9＋93＋…＋92m－1)－(1＋9＋…＋9m－1)
＝9×?1－81
m?
1－81－
1－9m
1－9＝
92m＋1－10×9m＋1
80.
13.解析：(1)由题意第一个正方体露在外面的面积为4.5，第二个为
2.25，第三个为1.125，……，可知此构成首项为4.5，公比q＝12的等
比数列，所以Sn＝
4.5??????1－12n
1－12
>8.8，化简得12n<145，易得n的最小值为
6，故选A.
(2)由S7－S5＝4(T6－T4)可得a6＋a7＝4(a5＋a6)?6a1＋25d＝0?a1＝－
25
6d；q＝
b6
b5＝
a6
a5＝5，由a5＝b5得b1＝－
d
6·54，代入
a7＋a5
b7＋b5化简得－
5
13.
答案：(1)A(2)－513
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