高考数学研究等比数列及其前n项和1/6
2015一轮复习经典——（101）
数列求和
一、选择题
1．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为()
A．2n＋n2－1B．2n＋1＋n2－1
C．2n＋1＋n2－2D．2n＋n2－2
2．(2014·武汉质检)已知数列{an}的通项公式是an＝2
n－1
2n，其前n项和Sn＝
321
64，则项
数n＝()
A．13B．10C．9D．6
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，若an＝1n＋n－1
(n∈N)，则S2009的值为()
A.2008B.2008－1
C.2009D.2009－1
4．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝()
A．15B．12
C．－12D．－15
5．1＋(1＋2)＋(1＋2＋22)＋…＋(1＋2＋22＋…＋210)的值是()
A．211－11B．211－13
C．212－13D．213－11
6．1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2＝()
A.n?n＋1?2B．－n?n＋1?2
C．(－1)n＋1n?n＋1?2D．以上答案均不对
二、填空题[来源:Zxxk.Com]
7．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n
(n∈N)，则S100＝__________.
8．数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝3Sn(n＝1,2,3，…)，则log4S10＝__________.
高考数学研究等比数列及其前n项和2/6
9．若1＋3＋5＋…＋?2x－1?1
1·2＋
1
2·3＋…＋
1
x?x＋1?
＝110(x∈N)，则x＝__________.
三、解答题
10．已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an2n－1}的前n项和．
11．等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a23＝9a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{1b
n
}的前n项和．
12．(2014·龙岩质检)已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55，a2＋a7
＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}和数列{bn}满足等式：an＝b12＋b222＋b323＋…＋bn2n(n为正整数)，求数列{bn}
的前n项和Sn.[来源:学.科.网Z.X.X.K]
高考数学研究等比数列及其前n项和3/6
1.解析：Sn＝2?1－2
n?
1－2＋
n?1＋2n－1?
2＝2
n＋1－2＋n2.
答案：C[来源:Z&xx&k.Com]
2.解析：∵an＝2
n－1
2n＝1－
1
2n，
∴Sn＝n－
1
2?1－
1
2n?
1－12
＝n－1＋12n＝32164，
∴n＝6.
答案：D
3.解析：∵an＝1n＋n－1＝n－n－1，
∴S2009＝(1－0)＋(2－1)＋…＋(2009－2008)＝2009，故选C.
答案：C
4.解析：a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10·(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋
10)＋…＋[(－1)9·(3×9－2)＋(－1)10·(3×10－2)]＝3×5＝15.
答案：A
5.解析：设an＝1＋2＋22＋…＋2n－1，则
an＝2
n－1
2－1＝2
n－1，
∴S11＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(211－1)
＝2＋22＋…＋211－11＝2?2
11－1?
2－1－11
＝212－13.
答案：C
6.解析：当n为偶数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2＝－3－7－…－(2n－1)＝－
n
2?3＋2n－1?
2＝－
n?n＋1?
2；
当n为奇数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2＝－3－7－…－[2(n－1)－1]＋n2＝－
n－1
2[3＋2?n－1?－1]
2＋n
2＝n?n＋1?
2.
综上可得，1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2
＝(－1)n＋1n?n＋1?2.
答案：C
高考数学研究等比数列及其前n项和4/6
7.解析：∵n为奇数时，an＝1，n为偶数时，an＝n
∴S100＝50×1＋2＋4＋…＋100＝50＋102×502＝2600
答案：2600
8.解析：∵an＋1＝3Sn，
∴an＝3Sn－1(n≥2)．
两式相减得an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，
∴an＋1＝4an，即an＋1a
n
＝4.
∴{an}从第2项起是公比为4的等比数列．
当n＝1时，a2＝3S1＝3，[来源:学。科。网]
∴n≥2时，an＝3·4n－2，
S10＝a1＋a2＋…＋a10
＝1＋3＋3×4＋3×42＋…＋3×48＝1＋3(1＋4＋…＋48)＝1＋3×1－4
9
1－4＝1＋4
9－1＝49.
∴log4S10＝log449＝9.
9.答案：9
10.答案：10
解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得
??
??
?a1＋d＝0，
2a1＋12d＝－10，
解得
??
??
?a1＝1，
d＝－1，
故数列{an}的通项公式为an＝2－n.[来源:学_科_网]
(2)设数列{an2n－1}的前n项和为Sn，即Sn＝a1＋a22＋…＋an2n－1，故S1＝1，
Sn
2＝
a1
2＋
a2
4＋…＋
an
2n.
所以，当n＞1时，
Sn
2＝a1＋
a2－a1
2＋…＋
an－an－1
2n－1－
an
2n
＝1－(12＋14＋…＋12n－1)－2－n2n
＝1－(1－12n－1)－2－n2n＝n2n
所以Sn＝n2n－1.
高考数学研究等比数列及其前n项和5/6
综上，数列{an2n－1}的前n项和Sn＝n2n－1.
11.解析：(1)设数列{an}的公比为q.由a23＝9a2a6得a23＝9a24，所以q2＝19.
由条件可知q＞0，故q＝13.
由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，得a1＝13.
故数列{an}的通项公式为an＝13n.
(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an
＝－(1＋2＋…＋n)＝－n?n＋1?2.
故1b
n
＝－2n?n＋1?＝－2(1n－1n＋1)，
1
b1＋
1
b2＋…＋
1
bn＝－2[(1－
1
2)＋(
1
2－
1
3)＋…＋(
1
n－
1
n＋1)]＝－
2n
n＋1.
所以数列{1b
n
}的前n项和为－2nn＋1.
12.解析：(1)方法一：设等差数列{an}的公差为d，则依题意知d＞0.
由a2＋a7＝16，得2a1＋7d＝16.①
由a3·a6＝55，得(a1＋2d)(a1＋5d)＝55.②
由①得2a1＝16－7d，将其代入②得(16－3d)(16＋3d)＝220，即256－9d2＝220，∴d2
＝4.
又d＞0，∴d＝2.代入①得a1＝1.
∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
方法二：由等差数列的性质得：a2＋a7＝a3＋a6，
∴
??
??
?a3a6＝55，
a3＋a6＝16.
由韦达定理知，a3，a6是方程x2－16x＋55＝0的根，解方程得x＝5或x＝11.
设公差为d，则由a6＝a3＋3d，得d＝a6－a33.
∵d＞0，
∴a3＝5，a6＝11，d＝11－53＝2，a1＝a3－2d＝5－4＝1.
故an＝2n－1.
(2)方法一：当n＝1时，a1＝b12，∴b1＝2.
高考数学研究等比数列及其前n项和6/6
当n≥2时，an＝b12＋b222＋b323＋…＋bn－12n－1＋bn2n，
an－1＝b12＋b222＋b323＋…＋bn－12n－1，
两式相减得an－an－1＝bn2n，∴bn＝2n＋1.
因此bn＝
??
??
?2，n＝1，
2n＋1，n≥2.
当n＝1时，S1＝b1＝2；
当n≥2时，Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2＋b2?1－2
n－1?
1－2＝2
n＋2－6.
∵当n＝1时上式也成立．
∴当n为正整数时都有Sn＝2n＋2－6.
方法二：令cn＝bn2n，则有an＝c1＋c2＋…＋cn，an＋1＝c1＋c2＋…＋cn＋1，
两式相减得an＋1－an＝cn＋1，由(1)得a1＝1，an＋1－an＝2.
∴cn＋1＝2，cn＝2(n≥2)，即当n≥2时，bn＝2n＋1.
又当n＝1时，b1＝2a1＝2，∴bn＝
??
??
?2，n＝1，
2n＋1，n≥2.
于是Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2＋23＋24＋…＋2n＋1＝2＋22＋23＋24＋…＋2n＋1－4＝
2?2n＋1－1?
2－1－4＝2
n＋2－6，即S
n＝2
n＋2－6.
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